Кафедра высшей алгебры

http://www.mccme.ru/~yasinsky/

Домашние задания выдаются в Листках. Дополнительные листки не следует понимать как «задачи со звездочкой». Их назначение — показать применения алгебры в самых разнообразных ситуациях.

Линейные системы и определители малых порядков. Метод Крамера. Геометрический смысл определителя.

Листок 1

Дополнительно: изменение площадей и объемов под действием линейных отображений.

Я в отъезде, заменяли И. А. Чубаров и С. А. Гайфуллин. Темы занятий: метод Гаусса, линейные системы с параметром, линейная зависимость векторов, операции над матрицами.

Некоторые домашние задачи: 6.9 (в) 6.10 (в) 6.12 (и) 6.14 (а) 17.1 (б,з) 17.2 (а) 17.3 (в) 17.4 (а,б) 17.7 (задачник Кострикина, 2001 г.)

Векторные пространства и их подпространства. Пространство решений однородной системы. Базис. Фундаментальная система решений.

Листок 2

Дополнительно: линейные рекуррентные последовательности и матрицы.

Ранг матрицы и его основные свойства. Обоснование алгоритма нахождения ФСР.

Листок 3

Обратная матрица, ее нахождение с помощью элементарных преобразований. Матричные уравнения.

Листок 4

Дополнительно: линейная алгебра над F₂, экстремальная комбинаторика и гипотеза Борсука.

Элементарные матрицы и их польза. Квадратные матрицы, коммутирующие со всеми матрицами того же размера, скалярны. След матрицы и его свойства.

Листок 5 (на 14 октября; некоторые задачи обсуждались на семинаре)

Дополнительно: применение алгебры в экономике: модель Леонтьева.

Контрольная №1. Темы контрольной:

1. Определители малых порядков.
2. Метод Гаусса.
3. Ранг матрицы. Фундаментальная система решений.
4. Линейная зависимость векторов.
5. Операции над матрицами. Обратная матрица.

Вариант 1

Вариант 2

Перестановки: все что вы хотели знать о них, но боялись спросить (краткий конспект с примерами и задачами).

Перестановки. Умножение перестановок, запись в виде произведения независимых циклов. Четность перестановок.

Листок 6

Дополнительно: применение алгебры в топологии (I): инварианты узлов, движения Рейдемейстера, многочлен Александера.

Порождающие симметрической группы. Определение знака перестановки с помощью транспозиций, четность цикла. Определители, их свойства и простейшие методы вычисления.

Листок 7 (некоторые задачи обсуждались на семинаре)

Дополнительно: применение алгебры в топологии (II): квантовые инварианты узлов, кронекеровское произведение матриц и уравнения Янга-Бакстера.

Методы вычисления определителей: приведение к треугольному виду, разложение по строке/столбцу, рекуррентные соотношения (для трёхдиагональных матриц).

Листок 8

Коллоквиум

Кольца и поля. Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма записи комплексных чисел, их сложение, умножение и деление. Тригонометрическая форма записи. Формула Муавра и тождество Эйлера. Описание движений плоскости с помощью комплексных чисел, ориентация. Инверсия.

Листок 9

Дополнительные задачи:

1. Меняет ли инверсия относительно окружности ориентацию плоскости?
2. Образуют ли всевозможные инверсии (относительно различных окружностей) группу?

Проверочная работа (~30 мин.). Темы:

1. Перестановки.
2. Вычисление определителей (в частности, метод рекуррентных соотношений, см. № 4.1 в задачнике)

Извлечение корней из комплексных чисел. Корни из единицы, их сумма. Геометрические места точек и комплексные числа. Пример задачи: найти ГМТ {(1+it)/(1-it): t∈R}. Рациональная параметризация окружности, понятие о пифагоровых тройках.

Листок 10: классификация движений плоскости.

Кольца и гомоморфизмы между ними. Примеры: матрицы, многочлены, кольца вычетов, кватернионы, октавы (в Листке 11 - кольцо формальных степенных рядов, булевы кольца, в т.ч. кольцо подмножеств фиксированного множества). Алгебра многочленов. Деление многочленов, нахождение наибольшего общего делителя (алгоритм Евклида). Корни, теорема Безу.

Листок 11

Дополнительно: Кватернионы и их применение для описаний вращений трехмерного пространства. Теорема Гурвица о сумме квадратов.

Кратность корня многочлена, формальная производная и формула Тейлора. Разложение по степеням линейного двучлена.

Неприводимые многочлены над полями C и R, разложение на неприводимые множители. Всякий многочлен нечетной степени из R[x] имеет вещественный корень.

Делители нуля в кольцах, области целостности. Примеры (в т.ч. делители нуля в кольцах вычетов, матрицах, кольце C[0,1], булевых кольцах; отсутствие делителей нуля в поле). Поле частных целостного кольца. Поле рациональных дробей, разложение рациональной дроби в сумму простейших (над C и R).

Листок 12

Кольца вычетов; выяснение того, когда кольцо вычетов является полем. Циклические группы, группа U_n корней степени n из 1. Группа (Z/nZ)^*, ее порядок; первообразные корни.

Редукция по простому модулю и доказательство неразрешимости некоторых диофантовых уравнений.

Группы и их подгруппы, примеры. Теорема Лагранжа (теория групп) и теоретико-числовые следствия из нее (теоремы Эйлера и Ферма).

Листок 13

Дополнительно: короткое доказательство квадратичного закона взаимности Гаусса.

Характеристика поля char(k), ее простота (при char(k)>0) ; пример бесконечного поля конечной характеристики. Каждое конечное поле характеристики p содержит pⁿ элементов.

Неприводимость многочленов над Q и Z: лемма Гаусса, признак Эйзенштейна. Многочлены деления круга Φ_n(x), доказательство неприводимости над Q для n=p; над Q существуют неприводимые многочлены сколь угодно большой степени.

Редукционный признак неприводимости: если f=a_nxⁿ+…∈Z[x], p не делит a_n и [f]_p неприводим в F_p[x], то f неприводим в Q[x]. «Решето Эратосфена» для отыскания неприводимых многочленов малых степеней над конечными полями.

Листок 14

Дополнительно можно почитать о применении алгебры, в том числе колец вычетов, в криптографии (RSA, система Диффи-Хелмана и пр.):

• С. Б. Гашков, Современная элементарная алгебра, Глава 2, пар. 2.9

• Более продвинутое чтение: Ю. Г. Прохоров, Эллиптические кривые и криптография, Глава 1

Кольцо многочленов от нескольких переменных, его факториальность; пример нефакториального кольца.

Лексикографический порядок. Симметрические многочлены. Степеннные суммы Ньютона. Формулы Виета. Основная теорема о симметрических многочленах, примеры.

Листок 15

Еще раз о выражении симметрического многочлена через элементарные, случай неоднородного многочлена. Разбор задач из Листка 15.

Результант и дискриминант. Теория исключений и решение простейших систем алгебраических уравнений, понятие о теореме Безу (о пересечении плоских алгебраических кривых). Дискриминант кубического трехчлена, его связь с корнями.

Листок 16

Контрольная №2. Темы контрольной:

1. Алгоритм Евклида для многочленов (в том числе над конечным полем).
2. Корни многочленов, их кратность.
3. Разложение рациональной дроби в сумму простейших.
4. Неприводимые многочлены над Z, Q и F_p (для малых p)
5. Выражение симметрических многочленов через элементарные.

Предполагается, что вы также умеете работать с комплексными числами и вычетами по простому модулю.

Вариант 1

Вариант 2