Семинары по алгебре группы 114, осень 2023
Преподаватель: Куликова О.В.
Семинары проходят по вт в 10:45 ауд. 1403 и пт нечетным неделям в 13:15 в ауд. 1622
Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 2-е изд., Москва, Физматлит, 2015.
Занятие №1 (5 сентября, вт)
Определители 2-го и 3-го порядка. Свойства. Разложение по строке (по столбцу). Правило Крамера.
Домашнее задание: 9.1 (в,г, д), 9.2 (б,в,д,е), 11.6, 12.1, 16.1 (б), 8.6 (а,д)
Занятие №2 (12 сентября, вт)
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Расширенная матрица. Лидер строки. Ступенчатый и улучшенный ступенчатый вид. Метод Гаусса.
Домашнее задание: 8.1 (б,в,г), 8.2 (в,г,з,е)
Занятие №3 (15 сентября, пт)
Векторное пространство (вещественное). Линейная комбинация. Линейная зависимость систем векторов. Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем. Критерий линейной зависимости. Основная лемма о линейной зависимости.
Домашнее задание: 6.2 (б), 6.3 (б,д), 6.4, 6.7 (б,д), 6.8, 6.9 (б,д), 6.11
Занятие №4 (19 сентября, вт)
1) База и ранг системы векторов. Алгоритм нахождения базиса и ранга конечной системы векторов и линейных выражений всех векторов системы через найденный базис.
2) Ранг матрицы=ранг строк=ранг столбцов. Метод элементарных преобразований.
Домашнее задание:
1) 6.12 (б,г,д), 6.10 (б,д), 6.13,
2) 7.1 б, к, л (только методом элементарных преобразований), 7.2 д, е, з, ж,
Занятие №5 (26 сентября, вт)
1) Ранг матрицы (разбор ДЗ).
2) Векторное подпространство. Линейная оболочка. Алгоритм нахождения базиса и размерности линейной оболочки.
Домашнее задание: 1) 7.3, 7.5
2) 35.1 (д), 35.11
Занятие №6 (29 сентября, пт)
1) Критерий Кронекера-Капелли. Критерий определенности. Однородные СЛАУ. ФСР
2) Операции над матрицами (сложение, умножение на число, умножение, транспонирование).
Домашнее задание: 1) 8.4 в,г; 7.19, 8.25
2) 17.1 (б,в,ж), 17.2 (а), 17.3 (в), 17.4
Занятие №7 (3 октября, вт)
1) Единичная матрица. Многочлен от матрицы
2) Обратная матрица (Метод ЭП и метод присоединенной матрицы)
3) Ранг и операции над матрицами.
Домашнее задание: 1) 17.5 (а)
2) 18.8 (г,д,ж,з,л), 18.9 (е,ж,л),
3) 7.7, 7.10, 7.11
Занятие №8 (10 октября, вт)
1) Матрицы специального вида. Матричные единицы. Свойства.
2) Обратные матрицы (продолжение). Свойства.
Домашнее задание:
1) 17.17, 17.26, 19.14, 19.15
2) 18.10 (б), 18.17, 18.18
Занятие №9 (13 октября, пт)
Подстановки. Разложение на независимые циклы. Свойства.
Домашнее задание: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4
Занятие №10 (17 октября, вт)
1) Подстановки. Разложение в произведение транспозиций. Четность перестановок. Четность подстановок. Свойства.
2) Опеределители. Формула полного разложения. Метод ЭП. Разложение по строке (по столбцу). Свойства.
Домашнее задание:
1) 3.5 (б,г,д), 3.6 (в,г,д), 3.7
2) 10.2, 10.4 (г,д), 10.6, 11.1, 11.2, 11.3, 13.1 (б,е), 13.2 (а,з), 12.2, 12.3 (д,и)
Занятие №11 (24 октября, вт)
Определитель произведения матриц.
Домашнее задание: 15.1, 15.2 (в), 4.1
Занятие №12 (27 октября, пт)
1) Вычисление определителей методом рекуррентных соотношений.
2) Вычисление ранга матрицы методом окаймляющих миноров.
Домашнее задание:
1) 4.1, 4.2(б), 14.1 (в,г,д,е,ж,з)
2) 7.1 (б,з,к) - решить методом окаймляющих миноров, 7.2 (в)
Занятие №13 (31 октября, вт)
Коллоквиум
Занятие №14 (7 ноября, вт)
Комплексные числа
Домашнее задание:
20.1 (б,г,к), 20.3 (а), 20.4 (а), 21.1(г,и,ф,х), 21.2 (а,б,ж,з), 22.7 (б,в,п), 23.1 (а), 23.2 (а, в), 24.6 (ж,м,н,п)
Занятие №15 (10 ноября, пт)
Контрольная работа
Занятие №16 (14 ноября, вт)
Бинарные операции. Группоид, полугруппа, моноид, группа.
Домашнее задание: 54.1 (а,б,в,д), 54.3, 55.1 (а-и), 55.3, 55.5 (а-ж), 55.6 (к,л,м,р).
Занятие №17 (21 ноября вт)
Определение кольца и поля.
Домашнее задание: 63.1 (л,м,з,к), 63.2 (а-г), 63.3 (а,б), 63.7+63.8 (для указанных пунктов), 63.10, 63.13, 8.10
Занятие №18 (25 ноября пт)
1) Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Деление с остатком. НОД.
2) Теорема Безу. Кратность корня (схема Горнера).
Домашнее задание:
1) 25.1(б), 25,3(б), 25.7,
2) 26.1 (в), 26.3(б)
Занятие №19 (28 ноября вт)
Неприводимые многочлены.
1) Многочлены над полем комплексных чисел и над полем вещественных чисел. Разложение на неприводимые множители.
2) Многочлены над полем рациональных чисел и конечными полями.
Домашнее задание:
1) 27.1 (б), 27.2 (б),
2) 28.1 (в), 28.2 (б,г), 28.6, 28.8, 28.9 (а,б), 28.22 (б)
Занятие №20 (5 декабря вт)
1) Ряд Тейлора. Определение кратности корня (через производные). Выделение кратных множителей
2) Поле рациональных дробей
Домашнее задание:
1) 26.5, 26.6, 25.8 (а)
2) 29.1 (а,в,г,и)
3) 29.2 (в,г,д,е)
Занятие №21 (8 декабря пт)
Симметрические многочлены
Домашнее задание: 31.9 (б), 31.10 (а,б,в)