Преподаватель: Куликова О.В.
Семинары проходят по четвергам четных недель в 9:00 в ауд. 409 и по пятницам в 9:00 в ауд. 410.
Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★.
Темы задач на зачете:
1) Неоднородные и однородные СЛАУ. Правило Крамера. Метод Гаусса.
2) Ранг системы векторов. Ранг матрицы.
3) Подстановки.
4) Определители.
5) Обратные матрицы. Матричные уравнения.
6) Операции над комплексными числами.
7) Группы, подгруппы. Порядок элемента. Изоморфизм.
8) Кольца. Обратимые элементы, делители нуля, нильпотентные элементы. Мультипликативная группа кольца.
9) Поля. СЛАУ в поле вычетов.
10) НОД целых чисел a и b и его линейное выражение через a и b. НОД многочленов f(x) и g(x) и его линейное выражение через f(x) и g(x).
11) Кратность корней многочленов. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами.
12) Неприводимые многочлены (над R, C, Q). Разложение на неприводимые множители.
13) Представление рациональной дроби в виде суммы простейших дробей (над R, C).
14) Выражение симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.
15) Формулы Виета.
16) Система Штурма. Распределение корней.
Темы КР №2:
1) Операции над комплексными числами.
2) Определение группы, кольца, поля.
3) СЛАУ в поле вычетов.
4) НОД целых чисел a и b и его линейное выражение через a и b. НОД многочленов f(x) и g(x) и его линейное выражение через f(x) и g(x).
5) Кратность корней многочленов. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами.
6) Неприводимые многочлены (над R, C, Q). Разложение на неприводимые множители.
7) Представление рациональной дроби в виде суммы простейших дробей (над R, C).
8) Выражение симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.
Занятие №22 (15 декабря 2016)
Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Формулы Виета.
Система Штурма.
Домашнее задание: 31.9б, 31.2а,б, 31.3а, 31.1а, 31.21а,б, 31.22, 33.1б,г,ж,к
Занятие №21 (9 декабря 2016)
Избавление от кратных множителей в разложении многочлена на неприводимые множители.
Рациональные дроби: представление в виде суммы многочлена и правильной дроби, разложение правильной дроби в сумму простейших дробей методом неопределённых коэффициентов.
Домашнее задание: 28.6, 29.1 в,г,и, 29.2 в,г
Занятие №20 (2 декабря 2016)
Теорема Безу. Схема Горнера. Простые и кратные корни. Неприводимые многочлены. Разложение на неприводимые многочлены.
Домашнее задание: 26.1в, 26.3б, 27.1б, 27.2б, 28.22б, 28.1, 28.2 б,в,г, 28.8, 28.9а
Занятие №19 (1 декабря 2016)
Мультипликативная группа кольца. Малая теорема Ферма. Нильпотентные элементы.
Алгоритм Евклида. НОД целых чисел. НОД многочленов.
Домашнее задание: 25.1б, 25.2б, 25.3б, 25.7б
Занятие №18
Подгруппы. Кольца. Делители нуля. Обратимые элементы. Поля. Мультипликативная группа кольца.
Домашнее задание: 56.16а, 56.32а, 63.1 а-и, 63.2 а-в, 63.7, 63.8 .
Занятие №17
Порядок элемента группы и порядок группы. Порождающее множество. Циклическая группа. Изоморфизм.
Занятие №16
Бинарные операции. Группа.
Занятие №15
Комплексные числа. Операции в алгебраической форме. Тригонометрическая форма. Умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня
Занятие №14 (3 ноября 2016)
Контрольная работа по алгебре (по темам, входящим в программу коллоквиума).
Темы (кратко)
1) Однородные и неоднородные СЛАУ.
2) Ранг системы векторов. Ранг матрицы.
3) Подстановки.
4) Определители.
5) Обратные матрицы.
6) Матричные уравнения.
Занятие №13 (28 октября 2016)
Коллоквиум.
Занятие №12 (21 октября 2016)
Метод окаймляющих миноров. Обратная матрица. Матричные уравнения.
Домашнее задание: 7.1 б, з, к, 18.8 г, д, ж, з, л, 18.9 е, ж, л, 18.10 а, 18.17, 18.3 з, к
Занятие №11 (20 октября 2016)
Определители. Метод рекуррентных соотношений. Определитель произведения матриц.
Домашнее задание: 15.1, 15.2 в, 14.1 в,е
Занятие №10 (14 октября 2016)
Определители. Разложение по строке (по столбцу). Метод рекуррентных соотношений.
Домашнее задание: 12.2, 12.3 д,и, 4.1
Занятие №9 (7 октября 2016)
Четность подстановки. Определители. Формула полного разложения. Свойства определителей. Метод приведения к треугольному виду.
Домашнее задание: 3.6 в,г,д, 10.2, 10.4 г,д, 10.6, 11.1, 11.2, 11.3, 13.1 б.е, 13.2 а,б,з.
Занятие №8 (6 октября 2016)
Подстановки. Независимые циклы. Разложение в произведение транспозиций. Четность перестановок.
Домашнее задание: 3.1 б,в, 3.2 в,д, 3.5 б,д
Занятие №7 (30 сентября 2016)
Операции над матрицами (сложение, умножение, умножение на число, транспонирование).
Домашнее задание: 17.1 в,ж, 17.2 б, 17.4 а, 17.5 а, 7.7, 7.10, 7.12
Занятие №6 (23 сентября 2016)
Однородные СЛАУ. ФСР.
Домашнее задание: 6.11, 7.2 д,е,з, 8.4 в,г
Занятие №5 (22 сентября 2016)
Базис и ранг системы векторов. Алгоритм нахождения базиса конечной системы векторов в R^n. Ранг матрицы. Метод элементарных преобразований (ЭП).
Домашнее задание: 6.12 б,г,д 6.10 б, д, 6.13, 7.1 б, к, л (только методом ЭП), 7.3, 7.5
Занятие №4 (16 сентября 2016)
Арифметическое векторное пространство. Линейная комбинация. Линейная зависимость систем векторов.
Домашнее задание: 6.2 б, 6.3 б,д, 6.4, 6.7д, 6.8, 6.9 б,д
Занятие №3 (9 сентября 2016)
Системы линейных уравнений с параметром. Решение систем линейных уравнений по простому модулю.
Домашнее задание: 8.2 в,г,з, 8.10 б
Занятие №2 (8 сентября 2016)
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и их матрицы. Элементарные преобразования. Метод Гаусса решения СЛАУ.
Домашнее задание: 8.1 б,в,г
Занятие №1 (2 сентября 2016)
Определители 2-го и 3-го порядка. Формулы Крамера.
Домашнее задание: 9.1 д, 9.2 б,в,д,е, 8.6 б,в,г