30 ноября

Докладчики: А.М. Максаев, В.В. Промыслов

Название доклада: О тотальном и регулярном графах многочлена

23 ноября

Заседание алгебраической секции Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2020».

Докладчики:

1. Хрыстик Михаил Андреевич Длины групповых алгебр в случае диэдральных групп

2. Бахадлы Бахад Рафик-Оглы Ортогональность для тропических нормальных матриц

3. Евсеев Илья Михайлович Реализуемость значений перманента многомерных (0, 1)-матриц

4. Колегов Никита Антонович Неотрицательные образующие матричных алгебр с точностью до подобия

5. Таранин Константин Александрович

Название доклада: О плотности перманентов квадратных (0,1)-матриц

Аннотация: Перманент — симметрическая полилинейная функция строк матрицы, для которой пока не известно «быстрого» способа вычисления. При этом перманенты (0,1)-матриц (а также (-1,1)-матриц) находят применение в некоторых задачах физики, экономики, генетики. Известным открытым вопросом, связанным с перманентами, является вопрос расположения значений перманента и их плотности. Ясно, что граничными значениями для (0,1)-матрицы порядка n являются 0 и n!. Как расположены перманенты внутри этого промежутка? При каких x внутри промежутка от x до 2x имеется перманент? Можно ли уменьшить множитель «2» из предыдущего вопроса, и если да, то насколько и в каких случаях? В докладе будет представлен ответ на второй вопрос и частично на третий. При наличии времени будут также представлены имеющиеся наработки по таким смежным вопросам, как минимальные и максимальные значения перманента при фиксированном количестве нулей.

16 ноября 15.45 – 19.20

Заседание алгебраической секции Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2020». Заседание проводится совместно с научно-исследовательским семинаром по алгебре, начало в 15:45.

Докладчики:

1. Половинкина Анна Ильинична Вычисление структурных констант алгебры Ли типа F4

2. Жилина Светлана Александровна Граф взаимной строгой ортогональности Биркгофа-Джеймса алгебры B(H)

3. Штейнер Павел Михайлович Линейные отображения, сохраняющие и меняющие мажоризацию

4. Гайдак Виолетта Александровна Инволюции полной линейной группы порядка 2 над кольцом без кручения ранга 1

5. Кудрявцев Дмитрий Константинович Достижимые значения длин квадратичных алгебр

6. Лата Александр Николаевич Производные структуры унарных алгебр

7. Промыслов В.В., Максаев А.М. Свойства графа, определенного множеством нулей многочлена

8. Сотов Александр Сергеевич О канторовости полигонов над полурешетками

9. Исаев Роман Дмитриевич Полная система инвариантов многомерного кубика Рубика

Время каждого доклада 15 минут, включая обсуждения.

9 ноября

Заседание, посвященное 80-летнему юбилею Александра Васильевича Михалева

Заседание проводится совместно с научно-исследовательским семинаром по алгебре, начало в 15:45.

2 ноября

Докладчик: С.В. Даниелян

Название доклада: О связи корней многочлена и его производной

Аннотация: Связь корней многочлена и корней его производной активно изучалась со времен работ Гаусса. Одним из самых известных фактов является то, что корни производной лежат в выпуклой оболочке корней многочлена (теорема Гаусса-Люка). Однако в этой теме по-прежнему есть открытые вопросы, например гипотеза Сендова, которая утверждает, что если корни многочлена лежат в диске радиуса 1 с центром в нуле, то диски радиуса 1 с центрами в корнях производной покрывают все корни многочлена.

Для исследования связи корней многочлена и его производной была придумана конструкция из двух матриц, для которых характеристический многочлен первой матрицы является характеристическим многочленом второй. Если научиться строить такую конструкцию, то скомбинировав ее с известными матричными теоремами, такими как теорема Гершгорина, неравенство Шура и другими, можно получать разнообразные следствия для корней многочлена и корней производной.

На этом докладе мы поговорим о способах построения такой матричной конструкции по заданному многочлену, а также обсудим получающиеся из этого неравенства.  

26 октября

Докладчик: А.М. Максаев

Название доклада: Отношения Грина на моноиде матриц и сохраняющие их отображения

Аннотация: Отношения Грина естественным образом возникают при изучении полугрупп и играют фундаментальную роль. Они позволяют лучше понять структуру идеалов полугруппы. Нас будут интересовать отношения Грина на моноиде квадратных матриц над полем (в более общем случае, над антинегативным полукольцом), а точнее, линейные отображения, сохраняющие эти отношения. При некоторых дополнительных условиях на поле удается получить описание таких отображений для каждого из отношений Грина. В докладе сначала будут определены отношения Грина для произвольного моноида, а также сформулированы их базовые свойства, далее будет представлено удобное описание этих отношений для моноида квадратных матриц. Затем мы перейдем к формулировкам основных результатов и в наименее техническом случае докажем их. При наличии времени, будут освещены знаменитые теорема Гильберта о нулях и (1,2,4,8)-теорема, неожиданно помогающие при описании требуемых отображений в наиболее сложном случае. Доклад основан на совместной работе с А.Э. Гутерманом, М. Джонсон, М. Камбитесом.

19 октября

Докладчик: Н.А. Колегов

Название доклада: О длине матричных алгебр инцидентности индекса нильпотентности радикала 2

Аннотация: Вычисление длин треугольных алгебр, обладающих базисом из матричных единиц, является интересной открытой проблемой. В ситуации, когда все диагональные матричные единицы содержатся в алгебре, мы имеем дело с алгебрами инцидентности. Тогда если мощность поля не меньше порядка матриц n, то длина таких алгебр всегда равна n-1. Для «маленьких» полей ответ в общем случае неизвестен. В настоящем докладе будут представлены новые результаты для случая индекса нильпотентности радикала 2. Для алгебр такого типа, которые при этом максимальны по включению, получена точная формула вычисления длины. Как следствие, вычисляется длина обобщенной алгебры Шура, получаемая присоединением диагональных матричных единиц к обычной алгебре Шура. Для общего случая получены новые оценки длин над «маленькими» полями. Часть результатов удобно формулировать на языке численных характеристик специальных графов, а именно диаграмм Хассе частичных порядков, задающих матричные алгебры инцидентности. 

12 октября

Докладчик: Н.А. Колегов

Название доклада:  Об алгебрах, порожденных положительными и неотрицательными матрицами

Аннотация: Исследования комбинаторных свойств неотрицательных матриц имеют давнюю и богатую историю, однако различные алгебраические, в том числе теоретико-кольцевые, вопросы также представляют интерес. Например, в работах словенских авторов М. Кандича, К. Шивика, Р. Дрновшека исследовалась проблема размерностей алгебр, порожденных двумя вещественными полу-коммутирующими матрицами. В настоящем докладе данная проблематика будет рассмотрена с более общих позиций. Помимо размерностей, в фокусе внимания оказываются все характеристики неотрицательно порожденных алгебр, сохраняемые внутренними автоморфизмами, т. е. подобиями. Так, получено полное описание алгебр, порожденных положительными матрицами с точностью до подобия, включая коммутативный, простой и полупростой случаи. Кроме того, для ряда алгебр блочно-диагонального вида, включая случай прямой суммы алгебр, доказаны необходимые или достаточные условия неотрицательной порожденности с точностью до подобия. Особое внимание будет уделено спектральным признакам, которые являются обобщениями открытой в настоящее время обратной спектральной задачи для неотрицательных матриц.