Кафедра высшей алгебры

Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Лекции читаются по понедельникам на каждой чётной неделе на 3-й паре (13:15-14:50) а ауд. 16-16 и по средам на 2-й паре (10:45-12:20) а ауд. 16-08.

Семинары проходят по понедельникам на каждой нечётной неделе на 3-й паре (13:15-14:50) а ауд. 16-16 и по средам на 3-й паре (13:15-14:50) а ауд. 16-08.

• 24 декабря 2022, 10:00−14:00, ауд. 454
• 27 декабря 2022, 15:00−19:00, ауд. 454
• 29 декабря 2022, 10:00−14:00, ауд. 454

• 11 января 2023, 10:00, ауд. 12-05

• 10 января 2023, 10:00, ауд. 12-07

Программа экзамена

1. Ю.А. Бахтурин. Основные структуры современной алгебры.
2. Б.Л. Ван дер Варден. Алгебра.
3. Э.Б. Винберг. Линейные представления групп.
4. Э.Б. Винберг. Курс алгебры.
5. А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры алгебры.
6. И. Ламбек. Кольца и модули.
7. С. Ленг. Алгебра.
8. М.М. Постников. Теория Галуа.
9. В.В. Прасолов. Многочлены.
10. D.J.H. Garling. Clifford algebras. An introduction.
11. Сборник задач по алгебре под ред. А.И.Кострикина.

Поля (напоминание): определение и примеры, характеристика поля, эндоморфизм Фробениуса, совершенные поля. Расширения полей, степень расширения, виды расширений: конечные, конечно порождённые, простые, алгебраические. Связь между разными видами расширений. Группа автоморфизмов Aut(L/K) расширения полей L⊃K, её порядок не превосходит степени расширения, случай равенства (формулировка теоремы). Расширения Галуа: определение, пример (C⊃R).

Видеозапись лекции

Доказательство теоремы о порядке группы автоморфизмов конечного расширения. Сепарабельные многочлены, элементы, расширения полей. Пример несепарабельного многочлена. Над совершенным полем все алгебраические расширения сепарабельны. Расширения Галуа сепарабельны.

Видеозапись лекции

Вычисления в простых расширениях полей. Построение конечных полей как простых расширений полей вычетов, примитивные элементы в них. Нахождение минимального многочлена алгебраического элемента в расширении полей.

Видеозапись семинара

Домашнее задание

Нахождение поля разложения многочлена. Круговой многочлен, его свойства. Круговое поле K_n, его степень.

Видеозапись семинара

Домашнее задание

Нормальные расширения полей. Конечное расширение полей является расширением Галуа тогда и только тогда, когда оно нормально и сепарабельно. Поле разложения сепарабельного многочлена является расширением Галуа поля коэффициентов, и наоборот. Любое конечное сепарабельное расширение вкладывается в расширение Галуа. Основная теорема теории Галуа. Теорема о примитивном элементе. Проблема разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Радикальные расширения полей.

Видеозапись лекции

Неприводимость кругового многочлена. Вычисление некоторых групп Галуа: Aut(R/Q), Aut(F_q/F_p), Aut(K_n/Q). Резольвента сепарабельного многочлена по отношению к подгруппе перестановок его корней, критерий того, что группа Галуа поля разложения многочлена содержится в указанной подгруппе с точностью до сопряжённости.

Видеозапись семинара

Домашнее задание

Критерий Галуа разрешимости алгебраического уравнения в радикалах. Разрешимость в радикалах общего уравнения степени n при n≤4 и неразрешимость при n≥5.

Видеозапись лекции

Кольца и алгебры (напоминание): определение, типы колец и алгебр. Идеалы в кольцах и алгебрах (левые, правые, двусторонние), факторкольца и факторалгебры. Гомоморфизмы колец и алгебр, их ядра и образы, основная теорема о гомоморфизмах колец и алгебр.

Модули над ассоциативными кольцами и алгебрами (левые, правые, бимодули): определение, примеры (в том числе: векторные пространства = модули над полем, абелевы группы = модули над Z, линейные представления группы = модули над групповой алгеброй, регулярный бимодуль). Структура модуля над кольцом или алгеброй A на абелевой группе или векторном пространстве M задаётся гомоморфизмом из A в кольцо эндоморфизмов End(M) или в алгебру линейных операторов L(M). Подмодули и фактормодули. Гомоморфизмы модулей, их ядра и образы, основная теорема о гомоморфизмах модулей.

Видеозапись лекции

Вычисление группы Галуа с помощью резольвент.

Видеозапись семинара

Домашнее задание

Присоединение единицы к ассоциативному кольцу или алгебре. Обратимые элементы и делители нуля в кольцах и алгебрах, случай конечномерных алгебр. Локальные кольца. Примеры (включая алгебру формальных степенных рядов и кольцо целых p-адических чисел).

Видеозапись семинара

Домашнее задание

Прямая сумма колец, алгебр и модулей, её универсальное свойство. Прямая сумма колец или алгебр как прямая сумма идеалов. Тензорное произведение модулей, его простейшие свойства: тензорное умножение на регулярный модуль, дистрибутивность относительно прямых сумм, ассоциативность.

Видеозапись лекции

Идеалы в алгебре C(X) непрерывных функций на топологическом пространстве X. Простые кольца, алгебры и модули, примеры. Алгебра Вейля, её простота в нулевой характеристике.

Видеозапись семинара

Домашнее задание

Полилинейные отображения модулей, универсальное свойство тензорного произведения по отношению к полилинейным отображениям. Тензорное произведение векторных пространств, его базис и размерность. Расширение скаляров. Тензорное произведение колец и алгебр.

Система порождающих модуля. Конечно порождённые, циклические, свободные модули. Нётеровы модули, условие обрыва возрастающих цепочек подмодулей. Модуль M нётеров тогда и только тогда, когда его подмодуль N и фактормодуль M/N нётеровы. Прямая сумма модулей нётерова тогда и только тогда, когда нётеровы прямые слагаемые.

Видеозапись лекции

Нётеровы кольца и алгебры. Конечно порождённые модули над нётеровыми кольцами нётеровы. Факторкольца нётеровых колец нётеровы. Теорема Гильберта о базисе идеала, нётеровость конечно порождённых колец и алгебр. Кольца главных идеалов, примеры. Наибольший общий делитель в кольце главных идеалов. Простые элементы, существование и единственность разложения на простые множители в кольце главных идеалов. Подмодуль свободного конечно порождённого модуля над кольцом главных идеалов свободен и конечно порождён, имеет базис, согласованный с базисом объемлющего модуля.

Видеозапись лекции

Тензорное произведение модулей, колец и алгебр.

Видеозапись семинара

Домашнее задание

Модули гомоморфизмов. Нётеровы кольца (коммутативные и некоммутативные), в том числе кольца формальных степенных рядов и косых многочленов. Примеры ненётеровых колец. Евклидовы кольца, кольца главных идеалов и факториальные кольца. Кольцо гауссовых чисел.

Видеозапись семинара

Домашнее задание

Доказательство леммы о приведении матрицы над кольцом главных идеалов к «диагональному» виду. Структура конечно порождённых модулей над кольцом главных идеалов, ранг, инвариантные множители и элементарные делители. Приложения: структура конечно порождённых абелевых групп и нормальная форма Фробениуса матрицы линейного оператора.

Видеозапись лекции

Поправка к доказательству теоремы о структуре конечно порождённых модулей над кольцом главных идеалов

Пример неевклидова кольца главных идеалов: R[x,y]/R[x,y]·(x²+y²+1). Простые элементы в кольце гауссовых чисел.

Видеозапись семинара

Домашнее задание

Приложения структуры конечно порождённых модулей над кольцом главных идеалов: жорданова нормальная форма линейного оператора.

Линейные представления математических структур (множеств, векторных пространств, ассоциативных алгебр, групп, … ), их матричная реализация в конечномерном случае. Инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления. Прямая сумма линейных представлений. Приводимые, неприводимые и вполне приводимые представления. Подпредставление вполне приводимого представления вполне приводимо. Разложение вполне приводимого конечномерного представления в прямую сумму неприводимых представлений. Гомоморфизмы, эндоморфизмы и изоморфизмы линейных представлений. Изоморфные линейные представления соответствуют эквивалентным матричным представлениям.

Видеозапись лекции

Лемма Шура о гомоморфизмах и эндоморфизмах неприводимых линейных представлений. Кратности неприводимых представлений в разложении вполне приводимого представления на неприводимые слагаемые и изотипные компоненты, их единственность и структура. Тензорное произведение линейных представлений групп. Неприводимые представления прямого произведения групп.

Видеозапись лекции

Разложение натурального числа в сумму двух и четырёх квадратов, связь с гауссовыми числами и целыми кватернионами. Нормальная форма Фробениуса линейного оператора.

Видеозапись семинара

Домашнее задание

1. Построение конечного поля, нахождение порождающего элемента его мультипликативной группы и примитивного элемента над простым подполем, не порождающего мультипликативную группу (1 вариант); нахождение степени поля разложения кубического многочлена над Q (2 вариант).
2. Вычисление группы Галуа кубического многочлена над Q (1 вариант); разрешимость уравнения 5-й степени над Q (2 вариант).
3. Вычисление комбинации Hom и ⊗ модулей (1 вариант); вычисление в кольце целых 7-адических чисел (2 вариант).
4. Нахождение НОД двух элементов кольца Z[(1+i√3)/2] (1 вариант); разложение натурального числа в сумму двух квадратов всеми способами (2 вариант).
5. Нахождение ранга, инвариантных множителей и элементарных делителей конечно порождённого модуля над Z[i] (1 вариант); приведение линейного оператора над полем F_2 к нормальной форме Фробениуса (2 вариант).

Конечномерные ассоциативные алгебры, эквивалентность понятия линейного представления и модуля над алгеброй. Нильпотентные алгебры, радикал. Стандартное скалярное умножение на конечномерной ассоциативной алгебре, его свойства, связь с радикалом.

Видеозапись лекции

Классификация двумерных коммутативных ассоциативных алгебр над C. Существование точного конечномерного представления у конечномерной ассоциативной алгебры. Запись линейного представления нильпотентной алгебры нильтреугольными матрицами, её неприводимые представления. Стандартное скалярное умножение на алгебре матриц. Контрпример к совпадению радикала с ядром стандартного скалярного умножения в положительной характеристике.

Видеозапись семинара

Домашнее задание

Радикал алгебры совпадает с пересечением ядер её неприводимых представлений. Полупростые ассоциативные алгебры, пример: простые алгебры с ненулевым умножением, в частности, алгебры матриц над конечномерными алгебрами с делением. Разложение полупростой алгебры в прямую сумму простых алгебр. Теорема Бернсайда об образе конечномерной ассоциативной алгебры при неприводимом представлении.

Видеозапись лекции

Теоремы Веддербёрна и Веддербёрна-Артина о структуре простых и полупростых конечномерных ассоциативных алгебр. Полная приводимость представлений полупростых алгебр. Полупростота групповой алгебры конечной группы над полем нулевой или положительной характеристики, не делящей порядок группы. Приложения: теорема Машке о полной приводимости линейных представлений конечных групп, количество и сумма квадратов размерностей неприводимых представлений над алгебраически замкнутым полем.

Видеозапись лекции

Стандартное скалярное умножение на простом расширении поля и дискриминант многочлена. Тензорное произведение полупростых алгебр.

Видеозапись семинара

Домашнее задание

Центральные простые алгебры и алгебры с делением. Группа Брауэра. Обобщённые кватернионы.

Видеозапись семинара

Домашнее задание

Линейные группы Ли. Подгруппа в GL_n, являющаяся многообразием в окрестности какой-либо одной своей точки, является группой Ли. Примеры: SL_n, O_n, U_n.

Видеозапись лекции

Свойства обобщённых кватернионных алгебр. Расширение скаляров, расщепление и степень центральной алгебры с делением. Групповые алгебры, их структура. Групповая алгебра над полем характеристики, делящей порядок группы, не полупроста. Конечную группу нельзя, вообще говоря, восстановить по её групповой алгебре над алгебраически замкнутым полем.

Видеозапись семинара

Домашнее задание

Линейная группа Ли замкнута в GL_n. Компоненты связности группы Ли, связная компонента единицы. Связная группа Ли порождается любой окрестностью единицы. Алгебры Ли, структура алгебры Ли на пространстве квадратных матриц. Касательная алгебра Ли линейной группы Ли.

Видеозапись лекции

Зкспоненциальное отображение, его свойства. Связная линейная группа Ли однозначно определяется своей касательной алгеброй Ли. Пересечение подгрупп Ли — подгруппа Ли, её алгебра Ли. Примеры: SO_n, SU_n. Алгебра Ли коммутативной группы Ли коммутативна; для связных групп Ли верно обратное. Линейные представления групп Ли.

Видеозапись лекции

Разложение групповой алгебры в прямую сумму простых идеалов, явное описание одномерных идеалов в общем случае и всех простых идеалов для группы S_3. Группа обратимых кватернионных матриц как вещественная группа Ли.

Видеозапись семинара

Домашнее задание

Псевдоортогональная и симплектическая группы Ли. Связность групп Ли GL_n(C) и SO_n(C).

Видеозапись семинара

Домашнее задание

Линейные представления алгебр Ли и модули над алгебрами Ли. Дифференциал линейного представления группы Ли есть линейное представление её касательной алгебры Ли. Присоединённое представление группы Ли и алгебры Ли, связь между ними. Двулистные накрытия SU_2(C) → SO_3(R) и SL_2(C) → SO_3(C). Связь между линейным представлением группы Ли и его дифференциалом посредством экспоненциального отображения. Эквивалентность теоретико-представленческих свойств (приводимость, неприводимость, полная приводимость) для линейных представлений связных групп Ли и соответствующих линейных представлений их касательных алгебр Ли.

Видеозапись лекции

Связность симплектической группы и компоненты связности псевдоортогональной группы. Присоединённая алгебра Ли и группа Ли обратимых элементов конечномерной ассоциативной алгебры с единицей. Структура группы Ли обратимых кватернионов.

Видеозапись семинара

Домашнее задание

Центр масс выпуклого множества. Компактность выпуклой оболочки компактного множества. Существование инвариантного скалярного умножения и полная приводимость линейных представлений компактных групп Ли. Линейные представления группы вращений плоскости и многочлены Фурье. Вещественные формы комплексных групп Ли. Совпадение инвариантных подпространств у комплексной группы Ли и её вещественной формы в комплексном линейном представлении.

Видеозапись лекции

Редуктивные группы Ли. Унитарный трюк Вейля: полная приводимость представлений редуктивных групп. Описание неприводимых комплексных линейных представлений алгебры Ли sl_2(C) и групп Ли SL_2(C), SU_2(C), SO_3(C), SO_3(R). Гармонический анализ на 2-мерной сфере — постановка задачи.

Видеозапись лекции

Вычисление экспоненциального отображения. Представления группы Ли R. Прообраз подгруппы Ли при дифференцируемом гомоморфизме — подгруппа Ли, её касательная алгебра Ли. Стабилизатор вектора в линейном представлении группы Ли и группа автоморфизмов конечномерной алгебры — группы Ли, их касательные алгебры Ли.

Видеозапись семинара

Домашнее задание

Линейные представления группы Ли SL_2 и алгебры Ли sl_2: структура неприводимых представлений, характеры, формула Клебша-Гордана.

Видеозапись семинара

Домашнее задание

Гармонический анализ на 2-мерной сфере, сферические функции Лапласа.

Алгебра Ли, ассоциированная с ассоциативной алгеброй. Проблема вложения алгебры Ли в ассоциативную алгебру. Универсальная обёртывающая алгебры Ли. Эквивалентность линейных представлений алгебры Ли и её универсальной обёртывающей алгебры. Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта (формулировка).

Видеозапись лекции

Вычисление старших векторов в простых подмодулях тензорного произведения простых sl_2-модулей. Вычисление сферических функций Лапласа, многочлены Лежандра.

Видеозапись семинара

Домашнее задание

Доказательство теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Алгебра Клиффорда векторного пространства с квадратичной формой, её градуировка по модулю 2 (структура супералгебры).

Видеозапись лекции

Структура алгебры Клиффорда, её базис и размерность, случай нулевой квадратичной формы. Центральная простота алгебры Клиффорда или её чётной части для векторного пространства с невырожденной квадратичной формой. Спинорные и полуспинорные представления алгебр Клиффорда над C, их неприводимость. Спинорная группа, её векторное и спинорное представления, двулистное накрытие Spin(V) → SO(V).

Видеозапись лекции

Вычисления в алгебре Клиффорда. Алгебры Клиффорда размерностей 1 и 2. Отщепление двумерного подпространства.

Видеозапись семинара

Домашнее задание

1. Вычисление матрицы стандартного скалярного умножения (1 вариант) и нахождение радикала (2 вариант) конечномерной ассоциативной алгебры.
2. Изоморфизм алгебр обобщённых кватернионов над Q (1 вариант); вычисление касательной алгебры Ли и экспоненциального отображения для группы Ли (2 вариант).
3. Задаёт ли матричная кривая линейное представление группы R (1 вариант); разложение тензорного произведения неприводимых представлений SL_2 на неприводимые слагаемые (2 вариант).
4. Нахождение старшего вектора заданного веса в sl_2-модуле (1 вариант); нахождение центральных элементов ограниченной степени в универсальной обёртывающей алгебре (2 вариант).
5. Вычисление в алгебре Клиффорда (1 вариант); нахождение матрицы элемента спинорной группы в спинорном представлении (2 вариант).