Кафедра высшей алгебры

Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Занятия проходят по средам на каждой чётной неделе на 2-й паре (10:45-12:20) в ауд. 454 и по пятницам на 2-й паре (10:45-12:20) в ауд. 454.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Системы линейных уравнений (СЛУ). Метод Крамера решения квадратных СЛУ малых размеров (2×2 и 3×3). Определители 2-го и 3-го порядка.

• 8.6вд, 8.2е, 9.1гд, 9.2ж, 16.1а;
• решить методом Крамера систему линейных уравнений:
• 

Решение СЛУ методом Гаусса. Связь решений совместной СЛУ и ассоциированной однородной системы линейных уравнений (ОСЛУ). Критерии определённости совместной СЛУ и квадратной СЛУ: ассоциированная ОСЛУ должна быть определена. Задача интерполяции, теорема о полиномиальной интерполяции.

• 8.1вг, 8.2вг, 8.8;
• закончить доказательство теоремы о полиномиальной интерполяции;
• ★ найти явную формулу для интерполяционного многочлена.

Линейная зависимость, базис системы векторов, координаты вектора в базисе. Стандартный базис в R^n. Когда система векторов обладает единственным базисом? Ранг системы векторов и размерность пространства. Алгоритм нахождения базиса конечной системы векторов в R^n.

• 6.4, 6.13, 6.14, 6.12вги;
• ★ доказать, что данная матрица элементарными преобразованиями строк приводится к единственному улучшенному ступенчатому виду.

Ранг матрицы, его свойства: неизменность при элементарных преобразованиях и транспонировании. Вычисление ранга матрицы.

• 7.1дл, 7.2аз, 7.5, 7.6, 7.7, 7.10.

Фундаментальная система решений ОСЛУ. Арифметические операции над матрицами (сложение матриц, умножение матриц на числа, умножение матриц).

• 8.4вг, 8.25★, 17.1бв, 17.4ав, 17.25.

Свойства матричных операций, некоммутативность умножения матриц. Нулевая и единичная матрицы. Делители нуля и нильпотентные матрицы, нильпотентность нильтреугольных матриц. Умножение на диагональные матрицы и матричные единицы. Квадратные матрицы, коммутирующие со всеми матрицами того же размера, скалярны.

• 19.15, 19.26, 17.13, 17.17, 19.14, 17.26★.

Обратная матрица, её нахождение. Если матрица A нильпотентна, то матрицы E+A и E-A обратимы. Решение матричных уравнений вида AX=B. Элементарные матрицы, их обратимость, умножение на них слева и справа. Матрица, обратная к транспонированной.

• 18.9кл, 18.3взи, 19.21, 18.17★, 19.4аг;
• как изменится A^{-1}, если матрицу A подвергнуть одному из следующих преобразований:
  • записать её строки в обратном порядке;
  • транспонировать относительно побочной диагонали;
  • повернуть на 90º против часовой стрелки?

Умножение подстановок. Разложение подстановки на независимые циклы, применение к возведению подстановок в степень. Решение уравнений в подстановках.

• 3.1вг, 3.2аге, 3.3ав, 3.4аб, 3.13;
• решить уравнения в подстановках:
• 
• (задача о квартирном обмене) Несколько семей хотят обменяться квартирами. За один день каждая семья может принять участие не более чем в одном обмене квартирами с какой-нибудь другой семьей. Доказать, что любой сложный обмен можно осуществить не более чем за два дня.

Чётность и знак перестановок и подстановок. Знак цикла. Задача про «пятнашки»: можно ли, последовательно передвигая фишки на соседнее свободное место, поменять местами фишки 14 и 15, оставив остальные фишки на месте? Можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы угловые кубики одной из граней переставились по кругу, а остальные кубики остались на своих местах (возможно, повернувшись)?

Определители квадратных матриц, их вычисление по развёрнутой формуле. Поведение определителя при различных преобразованиях матрицы.

• 3.6бвж, 3.11, 3.22, 10.4б, 16.2, 11.1гд, 11.4;
• можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы один из боковых кубиков в нём перевернулся, а остальные остались на своих местах, не изменив положения?

Вычисление определителей приведением к треугольному виду. Определитель Вандермонда. Разложение определителей по строке и столбцу.

• 13.1бвж, 13.2ежз, 14.1зкм★н, 12.2.

Вычисление определителей разложением по строке и столбцу. Трёхдиагональные определители и линейные однородные рекуррентные уравнения 2-го порядка.

• 12.3ези, 14.1где, 12.4, 4.5;
• вычислить определитель:
• 

Определитель произведения матриц. Ранг произведения матриц, случай невырожденности одного из сомножителей. Ранг присоединённой матрицы.

• 15.2бвг, 16.19, 7.11, 16.4, 18.8гкл.

1. Решение СЛУ в зависимости от параметра.
2. Нахождение ФСР и размерности пространства решений ОСЛУ (1 вариант); нахождение базиса системы векторов и выражение через него остальных векторов системы (2 вариант).
3. Решение матричного уравнения (1 вариант); нахождение обратной матрицы (2 вариант).
4. Вычисление определителя размера 4×4.
5. Вычисление определителя размера n×n.
6. Вычисление трёхдиагонального определителя (1 вариант); решение уравнения в подстановках (2 вариант).

Кольца и поля вычетов. Решение СЛУ и квадратных уравнений над полями вычетов. Использование колец вычетов для решения диофантовых уравнений (примеры: 23x-17y=5, 3x²+2=y², 7x²+2=y³). Малая теорема Ферма. Обратимые элементы кольца вычетов, функция Эйлера, теорема Эйлера. Задача: последовательность k_1=2, k_{n+1}=2^{k_n} стабилизируется по модулю 7. Квадратичные вычеты, символ Лежандра.

• 66.20, 8.10б, 66.24вг, 66.23ав, 66.32;
• решить диофантовы уравнения: 41x-11y=19, 35x+21y=14, 15x²-7y²=9;
• ★ доказать, что для любых a∈Z и m∈N последовательность k_1=a, k_{n+1}=a^{k_n} стабилизируется по модулю m.
• доказать, что символ Лежандра элемента a∈Z_p равен знаку подстановки на множестве Z_p\{0}, задаваемой умножением на a.

Поле комплексных чисел. Вычисления над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, решение алгебраических задач геометрическими методами (пример: уравнение |(z+1-i)/(z-1+i)|=1) и геометрических задач методами алгебры комплексных чисел (пример: доказательство теоремы о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон).

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел, формула Муавра, вычисления над комплексными числами в тригонометрической форме. Выражение тригонометрических функций кратных углов через функции исходного угла и степеней тригонометрических функций через функции кратных углов в первой степени с помощью комплексных чисел.

• 20.1еж, 21.2бж, 21.9аг, 21.10, 21.12, 21.13г;
• доказать с помощью комплексных чисел теорему Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений его противоположных сторон.

Извлечение корней из комплексных чисел. Задача: вычислить cos(2π/5) в радикалах с помощью комплексных корней 5-й степени из 1. Группа U_n комплексных корней степени n из 1, сумма и произведение всех корней степени n из 1. Вычисление сумм с помощью комплексных чисел.

• 22.7ипр, 22.8г, 22.9бв, 22.17аб, 22.22★, 23.1вг, 23.2бв.

Многочлены от одной переменной над полем K: деление с остатком на линейный двучлен, теорема Безу, схема Горнера. Разложение многочлена по степеням линейного двучлена, значения высших производных и кратность корня многочлена. Наибольший общий делитель (НОД) многочленов и алгоритм Евклида.

• 26.1бв, 26.2бв, 26.3бв, 26.4, 26.7бв, 26.11★, 25.2вг;
• найти НОД многочленов x^n-1 и x^m-1.

Линейное выражение НОД через исходные многочлены: (f,g)=uf+vg, его единственность при ограничениях на степени u и v, и его нахождение методом неопределённых коэффициентов. Избавление от кратных множителей в разложении многочлена на неприводимые множители. Разложение многочленов на неприводимые множители над полем C.

• 25.3б, 25.8б, 27.1ад, 27.5, 27.7, 27.14★.

Разложение многочленов на неприводимые множители над полем R. Неприводимых многочленов над любым полем бесконечно много. Существование неприводимых многочленов сколь угодно большой степени над конечным полем. «Решето Эратосфена» для нахождения всех неприводимых многочленов степени ≤n над конечным полем. Нахождение всех неприводимых многочленов степени ≤5 над полем Z_2. Над полем Q существуют неприводимые многочлены любой степени (пример: x^n-2). Нахождение всех рациональных корней многочлена с целыми или рациональными коэффициентами.

• 27.2бгде, 27.12, 28.23, 28.9в, 28.1в, 28.2бв;
• найти все неприводимые многочлены степени ≤3 со старшим коэффициентом 1 над полем Z_3.

Разложимость многочлена с целыми коэффициентами на множители меньшей степени в Q[x] влечёт разложимость на множители меньшей степени в Z[x]. Редукция многочленов с целыми коэффициентами по простому модулю, её свойства. Редукционный признак неприводимости. Разложение многочленов на неприводимые множители над Q с помощью редукций. Признак Эйзенштейна, неприводимость многочлена деления круга на простое число частей.

Рациональные дроби: представление в виде суммы многочлена и правильной дроби, разложение правильной дроби в сумму простейших дробей методом неопределённых коэффициентов, случай полей C и R.

• 28.9абвде, 29.1бе, 29.2аги, 29.3;
• разложить на неприводимые множители над полем Q:
  1. 3x^5-2x^4+5x^3-4x^2-5x-1,
  2. 2x^4-3x^3+5x^2+8x-5,
  3. 3x^4-x^3+5x^2+8x-7;
• ★ доказать, что многочлен x^4-10x^2+1 неприводим над Q, но его редукция по любому простому модулю p приводима над Z_p.

Симметрические многочлены, основная теорема о симметрических многочленах, метод неопределённых коэффициентов для нахождения выражения произвольного симметрического многочлена через элементарные. Выражение степенных сумм s_3 и s_4 через элементарные симметрические многочлены. Теорема Виета. Решение симметрических систем алгебраических уравнений.

• 31.9авер, 31.15, 31.21б, 31.2, 31.5, 31.6, 31.25.

1. Возведение в степень (1 вариант) и извлечение корней (2 вариант) в поле C.
2. Нахождение НОД двух многочленов и его линейного выражения через эти многочлены.
3. Разложение многочлена на неприводимые множители над полем R (1 вариант); разложение многочлена по степеням линейного двучлена, определение кратности корня и вычисление значений высших производных (2 вариант).
4. Разложение многочлена на неприводимые множители над полем Q.
5. Разложение рациональной дроби в сумму многочлена и простейших дробей над полем C (1 вариант) и R (2 вариант).
6. Выражение симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены.