Преподаватель: Андрей Леонидович Канунников
После темы семинара указаны страницы из первого файла и номера параграфов из задачника под ред. А. И. Кострикина (задачи из него предлагаются выборочно).
Обновляемые файлы: семинары seminars_2016.pdf задачи для затравки prime.pdf
Семинар 1 (05.09). Системы линейных уравнений 2 x 2 и m x n. Геометрический смысл определителя 2 х 2. Метод Гаусса и его обратный ход. Страницы 1, 2; параграф 8.
Семинар 2 (факультатив) (07.09). Часть I. Как появились комплексные числа: решение кубических уравнений. Часть II. Биномиальные коэффициенты и их свойства. Решение некоторых задач для затравки (с. 1).
Семинар 3 (12.09). Часть I: линейные отображения плоскости и их матрицы. Часть II: линейные соотношения в арифметическом пространстве (применения метода Гаусса). Страницы 3, 4; параграф 6.
Семинар 4 (14.09). Часть I: ФСР однородной системы, задание линейной оболочки векторов однородной системой. Часть II: линейные отображения арифметических пространств, их ядра и образы (связь с главными и свободными неизвестными соответствующей системы уравнений). Страница 5; параграф 8 и задача 35.16.
Семинар 5 (19.09). Прямая сумма подпространств. Формула включений и исключений для размерностей. Базис суммы подпространств, согласованный с их пересечением, и алгоритм его нахождения с помощью метода Гаусса (в частности, алгоритм нахождения базиса пересечения и алгоритм дополнения линейно независимой системы до базиса). Страница 6; параграфы 34, 35.
Семинар 6 (дополнительный) (21.09). Приём задач для затравки (листки II и III из второго файла), подсказки к некоторым из них. Консультация, повторение пройденного материала.
Семинар 7 (26.09). Часть I: кольцо вычетов, нахождение обратного вычета по алгоритму Евклида (с. 7). Часть II: ранг матрицы. Редукция по простому модулю при вычислении рангов целочисленных матриц (с. 9; параграф 7).
Семинар 8 (28.09). Часть I: кольцо вычетов, поле вычетов (продолжение). Комбинаторное доказательство малой теоремы Ферма, теорема Вильсона, «формула двоечника» (a+b)^p=a^p+b^p. Часть II: ранг матрицы (продолжение). Часть III: критерий определённости системы 2 х 2 над Z, его применение для характеризации элементарных параллелограммов в терминах площади (разбор задач для затравки из файла prime.pdf на с. 2): статья для Кванта fundpar.pdf
Семинар 9 (03.10). Умножение матриц и его смысл (композиция линейных отображений). Матричные вычисления, матрицы элементарных преобразований. Страницы 9, 10.
Контрольная работа №1 kr1.pdf
Семинар 10 (факультатив) (05.10). Откуда корень из пяти в формуле для чисел Фибоначчи? Линейные рекуррентные соотношения второго порядка. prime.pdf, с. 4.
Семинар 11 (10.10). Обратная матрица (матрица обратного линейного преобразования), её нахождение методом Гаусса, решение матричных уравнений AX=B. Стр. 11, параграф 18.
Семинар 12 (12.10). Часть I: матрицы (разбор ДЗ). Часть II: перестановки. Разложение на независимые циклы, число перестановок с данным цикловым строением, порядок и знак. Параграф 3.
Семинар 13 (17.10). Часть I: перестановки (разбор ДЗ, стр. 12). Часть II: определители (геометрия в случае 3х3 - стр. 13; вычисления различными методами - с. 13-15 - методы 1-4).
Семинар 14 (дополнительный) (19.10). Приём задач и консультация.
Семинар 15 (24.10). Часть I: линейные рекуррентные соотношения второго порядка и их применение к подсчёту определителей. Часть II: сопряжённые перестановки, централизатор перестановки, его нахождение. Стр. 16.
Семинар 16 (26.10). Линейные отображения и их матрицы. Стр. 17, определители из задачника.
Семинар 17 (31.10). Часть I: комплексные числа - арифметические операции, сопряжение, модуль, квадратные корни, тригонометрическая форма, формула Муавра. Параграфы 20, 21. Часть II: присоединённая матрица, её ранг и определитель. Стр. 18.
Коллоквиум (02.11).
Семинар 18 (07.11). Геометрия комплексных чисел, движения плоскости (стр. 19-20), параграф 22.
Семинар 19 (09.11) Часть I: применения комплексных чисел (стр. 21, 22). Часть II: многочлены - разные задачи, в основном, на делимость и теорему Безу, сравнения по модулю (стр. 23, 24).
Семинар 20 (14.11) Часть I: алгоритм Евклида и соотношение Безу для НОД (стр. 26-27). Часть II: круговые многочлены, их свойства и методы вычисления, связь с функцией Эйлера (стр. 28-29).
Семинар 21 (16.11) Сдача задач по комплексным числам и многочленам.
Контрольная работа №2
Семинар 22 (дополнительный) (23.11) Снова сдача тех же задач.
Семинар 23 (28.11) Часть I: евклидовы и факториальные кольца - примеры и контрпримеры; мостик от евклидовости до факториальности. Часть II: многочлены над C и R - разложение на неприводимые (стр. 30, 31). Часть III: многочлены над Q, Z, Z_p, лемма Гаусса, признак Эйзенштейна, редукция по простому модулю для доказательства неприводимости над Z (стр. 32-35).
Семинар 24 (30.11) Часть I: дифференцирование многочленов, его свойства, интерполяционный многочлен Лагранжа, формула Тейлора, кратные корни (с. 36, 37, параграфы 25, 26) Часть II: разложение на простейшие дроби разными способами (с. 38, 39, параграф 29).
Семинар 25 (05.12) Часть I: многочлены от многих переменных, факториальность (над полем) - без доказательства, теорема Безу над областью целостности (с. 40, 41). Часть II: симметрические многочлены, алгоритм выражения через элементарные симметрические, задачи на теорему Виета, степенные суммы, их связь с элементарными симметрическими многочленами (с. 42, 43).
Семинар 26 (факультатив, провёл Е. А. Ясинский) (07.12) Алгебра: от решения уравнений к началам теории групп, или как Лагранж придумал теорему Лагранжа; с. 44, 45, см. также лекцию для школьников lagrange.pdf
Семинар 27 (12.12) Пример несепарабельного многочлена. Группы, подгруппы: общее определение и мешок примеров (перестановки, преобразования плоскости, матричные реализации, группы диэдра, числовые группы, вычеты, обратимые элементы колец и др.); изоморфизмы и гомоморфизмы; группы S_3 и V_4 в ,,разных одеждах''; циклические группы; классификация групп порядка не более 4, (на дом - 5 и 6), список групп порядка 8 (доказательство полноты списка – доп. задача). Задачник: параграф 55.
Семинар 28 (дополнительный) (14.12) Приём и разбор задач по многочленам, комплексным числам, группам.
Семинар 29 (14.12) Группы: порядки степени и произведения элементов, автоморфизмы групп (подробно - для циклических групп), классификация групп порядка 6, разные реализации групп S_3 и D_4. Файл: стр. 46-47.
Семинар 30 (16.12) Смежные классы по подгруппе, теорема Лагранжа, подрешётки в Z^2 - индекс равен модулю определителя (с. 48).