Преподаватель: Куликова О.В.
Семинары по Алгебре в 203 группе проходят по пт в 15:00 в ауд. 1503
Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 2-е изд., Москва, Физматлит, 2015.
Дополнительные задачи помечены знаком ★.
Темы задач на зачете:
1) Порядок элемента. Циклические группы и циклические подгруппы.
2) Гомоморфизмы и изомофизмы групп. Группа автоморфизмов групп. Группа эндоморфизмов абелевой группы.
3) Кон.пор. абелевы группы. Подгруппы конечно порожденных абелевых групп.
4) Действия. Орбиты. Стабилизаторы.
5) Классы сопряженности
6) Центр. Централизатор элемента. Нормализатор подгруппы.
7) Силовские подгруппы. В частности, задачи на проверку простоты группы, доказательство коммутативности.
8) Коммутанты. Разрешимые группы
9) Идеалы колец (односторонние и двусторонние).
10) Гомоморфизмы и изоморфизмы колец
11) Определение линейного представления. Проверка на приводимость, вполне приводимость. Эквивалентность.
12) Комплексные представления абелевых групп
13) Одномерные представления групп.
14) Число и размерность неприводимых представлений
15) Факторгруппы, факторкольца.
16) Минимальный многочлен. Расширения полей. Степень расширения.
Занятие №1 (1 сентября)
(Повторение из 1-го семестра)
1) Определение группы и подгруппы, циклической подгруппы.
2) Порядок группы, порядок элемента.
Домашнее задание:
1) 55.5, 55.6 (т), 56.1;
2) 56.3, 56.7, 56.9 (лекции), 56.11 (лекции), 56.12, 56.13, 56.28.
Занятие №2 (8 сентября)
1) Система порождающих элементов группы.
2) Циклические группы.
3) Изоморфизм групп. Группа автоморфизмов.
4) Смежные классы. Теорема Лагранжа. Следствия.
Домашнее задание:
1) 56.32 (б)
2) 56.16 (б), 56.14 (лекции), 56.15 (а)
3) 55.25, 55.26, 55.22, 55.20 (доделать)
Aut G: 55.32 (в, г, д,е), 55.31 (лекции)
4) 56.37 (е-л)
Занятие №3 (15 сентября)
1) Нормальные подгруппы.
2) Факторгруппы. Ядро, образ гомоморфизма и их свойства. Теорема о гомоморфизме.
Домашнее задание:
1) 58.1 (в), 58.2, 58.11 (а)
2) 58.30, 55.17, 58.28 (в,г,д), 58.16, 58.32, 58.33
Занятие №4 (22 сентября)
Свободные группы. Группы, заданные порождающими и определяющими соотношениями.
Домашнее задание: 61.15, 61.23 (б), 61.27, 61.28 (б), 61.29, 61.31, 61.33 (а)
Занятие №5 (29 сентября)
Прямые произведения
Домашнее задание: 60.2, 60.5 (в), 60.9, 60.13, 60.17, 60.44, 60.45 (б)
Занятие №6 (6 октября)
Свободные абелевы группы. Универсальное свойство. Основная теорема о конечно порожденных абелевых группах.
Домашнее задание: 60.39 (д-з), 60.40, 60.42, 60.43 (б), 60.31, 60.32, 60.34
Занятие №7 (13 октября)
1) Целочисленные элементарные преобразования.
2) Делимые группы.
3) Группа гомоморфизмов абелевых групп. Кольцо эндоморфизмов абелевой группы.
Домашнее задание:
1) 60.52 (б,в,г), 60.54
2) 60.62, 60.64
3) 60.19, 60.20, 60.21; 60.22, 60.24
Занятие №8 (20 октября)
Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы.
Домашнее задание: 57.1(г)+57.2(б), 57.3, 57.9(б,в), 57.12(в), 57.15, 55.27
Занятие №9 (27 октября)
1) Теорема Кэли
2) Классы сопряженности
3) Централизатор
4) Центр
Домашнее задание:
1) 55.34 (б,в)
2) 57.30 (б,в), 57.32 (б), 57.35 (в,г), 58.4 (б,в), 58.12
3) 57.23 (б), 57.24 (б,в), 57.25 (а), 57.28, 57.31 (в)
4) 58.11 (б), 58.20 (б,в), 58.24 (б,в,ж)
Занятие №10 (3 ноября)
Нормализатор подгруппы
Домашнее задание:
1) 57.38 (б,в)
2) 57.20, 57.21, 58.36, 58.37
Занятие №11 (10 ноября)
Коллоквиум
Занятие №12 (17 ноября)
1) Силовские подгруппы
2) Теоремы Силова
3) Простые группы
4) Коммутаторы. Коммутант
Домашнее задание:
1) 59.3 (б), 59.5, 59.10, 59.17
2) 59.20 (б,в), 59.19, 59.23
3) 59.22 (б,в,г,д)
4) 62.1 (б,в), 62.8 (б), 62.9
Занятие №13 (24 ноября)
1) Разрешимые группы
2) Линейные и матричные представления. Эквивалентность.
3) Инвариантные подпространства
4) Неприводимые представления
Домашнее задание:
1) 62.12 (г,д), 62.18(в,г,д,е)
2) 69.4 (в-е), 69.9, 69.14
3) 69.5 (ж,з,и), 69.8
4) 69.15
Занятие №14 (1 декабря)
1) Сумма представлений. Вполне приводимость
2) Одномерные комплексные представления групп.
3) Теорема Машке.
4) Количество и размерность неприводимых комплексных представлений
Домашнее задание:
1) 69.2, 69.12
2) 70.2 (д,ж,з), 70.16
3) 70.10 (в)
4) 70.34 (в,г), 70.37
5) (над полем вещ. чисел) 70.6, 70.7, 70.8
Занятие №15 (8 декабря)
0) Повторение: Кольца, поля.
1) Идеал
2) Факторкольца. Гомоморфизмы
Домашнее задание:
0) 63.1,2,3+66.1, 63.11 (б,д - только про делители нуля),
1) 64.5, 64.6, 64.7
2) 64.38, 64.41 (а,в), 64.42, 64.37, 64.39, 64.55 (а,б), 64.43
Занятие №16 (15 декабря)
Поля. Расширения полей
Домашнее задание: 66.18 (б), 67.3 (б,е,ж), 67.13 (д,е,ж)