Кафедра высшей алгебры

1) А.И. Кострикин. Введение в алгебру.

• Часть I гл. 4
• Часть III

2) Э.Б. Винберг. Курс алгебры.

1) М.И. Каргополов, Ю.И. Мерзляков. Основы теории групп.

2) А.Ю.Ольшанский. Геометрия определяющих соотношений в группах

Повторение из 1-го семестра: определение группы, подгруппы, изоморфизма групп, примеры.

Порядок элемента.

Циклические группы. Система порождающих.

Смежные классы по подгруппе. Теорема Лагранжа.

Следствия из теоремы Лагранжа. Нормальные подгруппы. Факторгруппы.

Гомоморфизмы. Теорема о гомоморфизме.

Теорема о гомоморфизме. Примеры. Любая нормальная подгруппа является ядром некоторого гомоморфизма. Естественный гомоморфизм.

Свободная группа.

Универсальное свойство свободной группы. Определяющие соотношения. Теорема Дика. Примеры алгоритмических проблем в теории групп.

Прямые произведения групп. Z_m ≅ Z_{m_1} ⊕ … ⊕ Z_{m_s}, если m=m_1·…·m_s, где m_1, …, m_s - попарно взаимно простые числа. Связь между внешним и внутренним прямым произведением. Факторизация прямого произведения групп по прямому произведению подгрупп, в частности, по прямым сомножителям.

Определение полупрямого произведения подгрупп. Пример.

Конечно порожденные абелевы группы (в аддитивной записи),(целочисленные) линейные комбинации элементов абелевой группы, линейная зависимость, базисы. Свободные абелевы группы Основная лемма о линейной зависимости для абелевых групп. Во всех базисах свободной абелевой группы одинаковое число элементов. Ранг свободной абелевой группы. Изоморфизм свободных абелевых групп одного ранга. Подгруппы свободных абелевых групп.

Матрицы перехода от базиса к базису. Целочисленные элементарные матрицы. Целочисленные элементарные преобразования строк и столбцов целочисленной матрицы.

Теорема о базисе свободной абелевой группы, согласованном с базисом подгруппы (доказательство основано на лемме о приведении целочисленной матрицы к «диагональному» виду целочисленными элементарными преобразованиями строк и столбцов). Следствия. Универсальное свойство свободной абелевой группы.

Основная теорема о конечно порожденных абелевых группах.

Окончание доказательства Основной теоремы о конечно порожденных абелевых группах. Экпонента конечной группы. О конечных подгруппах мультипликативной группы поля.

Действие группы на множестве. Орбиты. Стабилизаторы. Взаимно однозначное соответствие между точками орбиты и смежными классами по стабилизатору, число точек в орбите. Группа вращений куба: её порядок (из транзитивного действия на вершинах куба) и изоморфизм с S_4 (из действия на диагоналях).

Стабилизаторы разных точек.

Действие группы на себе. Теорема Кэли.

Группа автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов.

Классы сопряженности. Централизаторы. Центр. Классы сопряженности и центр группы S_n. Центр конечной p-группы. Группы порядка p^2.

Нормализаторы подгрупп. Теоремы Силова.

Коммутаторы и коммутант. Связь между коммутантом и нормальными подгруппами, факторгруппы по которым абелевы. Системы порождающих групп A_n, SL_n (F). Коммутанты групп S_n, A_n. Коммутанты групп GL_n (F) и SL_n (F) при |F|>3.

Кратные коммутанты. Разрешимые группы. Свойства. При каких n группа S_n разрешима? Неразрешимость групп GL_n (F) и SL_n (F) (|F|>3). Разрешимость конечной p-группы, где ,q – простые.

Разрешимость группы невырожденных треугольных матриц над полем. Разрешимость группы порядка pq, где p,q – простые.

Простые группы. Описание простых абелевых групп. Композиционный ряд группы, существование композиционного ряда у конечной группы. Теорема Жордана–Гёльдера (без доказательства). Простота групп A_n при n≥5. Простота SO_3(R) (без доказательства).

Линейные и матричные представления групп. Инвариантные подпространства. Неприводимые представления

Примеры. Лемма Шура. Одномерные представления конечных абелевых групп. Одномерные представления произвольной группы.

Вполне приводимые представления. Сумма линейных представлений. Любое вполне приводимое представление разлагается в сумму неприводимых. Ортогональные (унитарные) линейные представления. Теорема Машке (доказательство только для вещественного и комплексного случая).

Количество и размерность неприводимых комплексных представлений конечной группы. Вспомогательные утверждения.

Характеры.

Идеалы колец. Факторкольца. Теорема о гомоморфизме колец

В евклидовом кольце любой идеал является главным. Когда факторкольцо евклидова кольца по идеалу является полем? Присоединение корня неприводимого многочлена к полю. Конечные расширения полей. Теорема о башне расширений.

Алгебраические расширения. Алгебраическое замыкание поля F в поле L.

Поле разложения многочлена. Конечные поля.