Кафедра высшей алгебры

Курс завершен

Лекция 23 (15.12.2018) Левые и правые смежные классы. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и пять ее следствий.

Лекция 22 (11.12.2018) Изоморфизмы, эндоморфизмы и автоморфизмы групп. Ядро и образ гомоморфизма. Порядок группы. Числовые аддитивные и мультипликативные группы. Группы подстановок. Группы матриц. Группа кватернионов. Порядок элемента. Циклическая подгруппа. Циклическая группа. Классификация циклических групп с точностью до изоморфизма. Подгруппы циклических групп.

Лекция 21 (08.12.2018) Результант двух многочленов. Связь результанта и дискриминанта. Вычисление результанта через определитель (без доказательства). Группы и подгруппы. Гомоморфизмы групп.

Лекция 20 (01.12.2018) Симметрические многочлены. Примеры: степенные суммы и элементарные симметрические многочлены. Основная теорема о симметрических многочленах. Теорема Виета. Дискриминант многочлена.

Лекция 19 (27.11.2018) Поле частных области целостности. Рациональные дроби, правильные дроби и простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших (без доказательства единственности). Многочлены от многих переменных. Лексикографический порядок. Лемма о старшем члене.

Лекция 18 (24.11.2018) Связь неприводимости многочлена и наличия корня. Неприводимые многочлены над C и над R. Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Теорема Декарта.

Лекция 17 (17.11.2018) Лемма о возрастании модуля. Лемма Даламбера. Доказательство основной теоремы алгебры. Отделение кратных корней.

Лекция 16 (13.11.2018) Евклидовы кольца. Алгоритм Евклида. НОД и его существование. Лемма о линейном представлении НОД. Взаимно простые элементы. Неприводимые и простые элементы. Неприводимые многочлены. Однозначность разложения на простые множители в евклидовых кольцах. Основная теорема алгебры. Алгебраически замкнутое поле.

Лекция 15 (10.11.2018) Кратность корня. Формальная производная многочлена. Формула Тейлора. Понижение кратности корня при дифференцировании. Число корней многочлена с учетом кратности не превосходит степени. Области целостности.

Лекция 14 (03.11.2018) Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Степень многочлена. Формальное и функциональное равенство многочленов. Задача интерполяции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Теорема о делении с остатком для многочленов. Теорема Безу.

Лекция 13 (30.10.2018) Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма записи. Сопряжение. Комплексная плоскость и тригонометрическая форма записи. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра. Извлечение корней. Корни из единицы. Первообразные корни.

Лекция 12 (27.10.2018) Кольца: обратимые элементы, делители нуля и нильпотенты. Примеры колец. Поля. Вычеты. Кольца вычетов, являющиеся полями. Характеристика поля.

Лекция 11 (20.10.2018) Теорема Крамера и формулы Крамера. Теорема о ранге матрицы. Множество с бинарной операцией, полугруппа, моноид, группа, абелева группа, мультипликативная и аддитивная форма записи, примеры групп.

Лекция 10 (16.10.2018) Определитель с углом нулей. Определитель Вандермонда. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и по столбцу. Фальшивое разложение. Присоединенная матрица. Формула для обратной матрицы. Определитель произведения матриц.

Лекция 9 (13.10.2018) Определитель верхнетреугольной матрицы. Свойства определителя: полилинейность, кососимметричность, неизменность при транспонировании. Изменение определителя при элементарных преобразованиях. Невырожденность равносильна отличию определителя от нуля. Определитель как единственная кососимметрическая полилинейная нормированная функция.

Лекция 8 (06.10.2018) Обратная подстановки. Разложение подстановки в произведение независимых циклов. Транспозиции. Разложение подстановки в произведение транспозиций. Инверсия. Четность подстановки. Изменение четности при умножении на транспозицию. Число четных подстановок равно числу нечетных. Знак подстановки. Знак произведения. Четность обратной подстановки. Определение определителя формулой.

Лекция 7 (02.10.2018) След матрицы. Единичная матрица. Элементарные матрицы. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырождена. Ранг произведения матриц. Перестановки, их количество. Умножение подстановок. Ассоциативность. Единичная подстановка.

Лекция 6 (29.09.2018) Критерий определенности СЛУ в терминах рангов. Сложение матриц и умножение матрицы на скаляр. Умножение матриц. Матричная форма записи СЛУ. Умножение на диагональную матрицу. Скалярные матрицы. Свойства операций: ассоциативность, дистрибутивность, отсутствие коммутативности. Транспонирование и его свойства. Матричные единицы и символы Кронекера.

Лекция 5 (22.09.2018) Строчный и столбцовый ранги матрицы. Элементарные преобразования строк не изменяют линейных соотношений между столбцами. Совпадение строчного и столбцового рангов. Алгоритм нахождения базы. Размерность пространства решений однородной системы равна n-rk A. Для любого линейного подмногообразия найдется СЛУ, множеством решений которой оно является. Теорема Кронекера-Капелли.

Лекция 4 (18.09.2018) Множество решений системы - подпространство тогда и только тогда, когда система однородна. Фундаментальная система решений (ФСР). Размерность пространства решений равна числу свободных неизвестных. Алгоритм нахождения ФСР. Множество решений СЛУ является линейным подмногообразием: произвольное решение есть сумма частного решения и решения ассоциированной однородной системы. Ранг и база конечной системы векторов. Эквивалентные наборы векторов, неизменность ранга при элементарных преобразованиях.

Лекция 3 (15.09.2018) Подпространства. Линейная оболочка. Порождающее множество для подпространства. Основная лемма о линейной зависимости. Базис подпространства арифметического векторного пространства. Стандартный базис в R^n. Дополнение линейно независимого набора до базиса. Размерность: корректность определения. Свойства размерности.

Лекция 2 (08.09.2018) Обратимость элементарных преобразований. Метод Гаусса. Экзотические уравнения и критерий совместности. Строго ступенчатые матрицы и критерий определенности. Системы, где число уравнений меньше числа неизвестных. Арифметическое векторное пространство. Линейная комбинация. Линейная зависимость и независимость: примеры и основные свойства.

Лекция 1 (04.09.2018) Общая информация о курсе и контрольных мероприятиях. Системы линейных уравнений малых порядков, главные и свободные неизвестные, формулы Крамера для систем второго порядка. Общий вид системы линейных уравнений, матрица коэффициентов и расширенная матрица системы, совместные и определенные системы, однородные системы, эквивалентные системы, три типа элементарных преобразований строк матрицы, лидер строки, ступенчатые и верхнетреугольные матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду. Улучшенный ступенчатый вид. Элементарные преобразования над уравнениями системы.