Кафедра высшей алгебры

Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Занятия проходят по понедельникам на 2-й паре (10:35-12:20) в ауд. 463 и на каждой нечётной неделе по четвергам на 4-й паре (15:00-16:35) в ауд. 454.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2001. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Системы линейных уравнений (СЛУ) и их матрицы. Элементарные преобразования. Метод Гаусса решения СЛУ: приведение к ступенчатому и улучшенному ступенчатому виду, совместные и несовместные системы, главные и свободные неизвестные, общее решение системы, определённые и неопределённые системы, преимущество улучшенного ступенчатого вида. Однородные системы линейных уравнений (ОСЛУ), связь решений совместной СЛУ и ассоциированной ОСЛУ. Квадратные СЛУ, критерий определённости: ассоциированная ОСЛУ должна быть определена. Полиномиальная интерполяция.

• 8.1вг, 8.2вд, 8.8;
• ★ показать, что при приведении матрицы к ступенчатому виду можно обойтись элементарными преобразованиями 1-го типа;
• закончить доказательство теоремы о полиномиальной интерполяции;
• найти явную формулу для интерполяционного многочлена.

Метод Крамера решения квадратных систем линейных уравнений малых размеров (2×2 и 3×3). Определители 2-го и 3-го порядка.

• 8.6вд, 8.2е, 9.1гд, 9.2ж, 16.1а;
• решить методом Крамера систему линейных уравнений:
• 

Перестановки и подстановки. Умножение подстановок, его свойства, симметрическая группа. Циклические подстановки, их орбиты, транспозиции. Разложение подстановки на независимые циклы, применение к возведению подстановок в степень. Решение уравнений в подстановках.

• 3.1вг, 3.2аге, 3.3ав, 3.13;
• решить уравнения в подстановках:
• 
• (задача о квартирном обмене) Несколько семей хотят обменяться квартирами. За один день каждая семья может принять участие не более чем в одном обмене квартирами с какой-нибудь другой семьей. Доказать, что любой сложный обмен можно осуществить не более чем за два дня.

Инверсии в перестановках и подстановках, их чётность и знак. Свойства знака подстановок: изменение при умножении на транспозицию, выражение через число транспозиций в разложении подстановки, мультипликативность, знак обратной подстановки, знак цикла. Задача про «пятнашки»: можно ли, последовательно передвигая фишки на соседнее свободное место, поменять местами фишки 14 и 15, оставив остальные фишки на месте?

• 3.6бж, 3.22, 3.11;
• ★ любую ли чётную перестановку фишек в игре «пятнашки» можно получить, последовательно передвигая фишки на соседнее свободное место?
• можно ли, вращая слои куба Рубика на шарнирах, добиться того, чтобы один из боковых кубиков в нём перевернулся, а остальные остались на своих местах, не изменив положения?

Определители квадратных матриц: развёрнутая формула, определитель треугольной матрицы. Свойства определителей: полилинейность и кососимметричность, обращение в 0 при наличии нулевой строки/столбца, совпадающих или пропорциональных строк/столбцов, поведение при элементарных преобразованиях, при транспонировании. Метод вычисления определителя приведением к треугольному виду. Правило Крамера.

• 10.4б, 16.2, 11.1гд, 11.4.

Вычисление определителей приведением к треугольному виду. Определитель с углом нулей, определитель блочно-треугольной матрицы. Определитель Вандермонда.

• 13.1жз, 13.2ежз, 14.1зкмн.

Дополнительные миноры и алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы. Разложение определителя по строке и по столбцу.

• 12.2, 12.3ези, 14.1ао.

Вычисление трёхдиагональных определителей путём решения линейных однородных рекуррентных уравнений 2-го порядка. Алгебраические операции над матрицами.

• 14.1где, 12.4;
• вычислить определитель:
• 
• 17.1бв, 17.4ав, 17.12, 17.13, 17.25.

Свойства алгебраических операций над матрицами. Нулевая и единичная матрицы, их свойства. Матричные единицы, их умножение. Некоммутативность умножения матриц. Описание квадратных матриц, коммутирующих со всеми квадратными матрицами того же размера. Делители нуля и нильпотентные матрицы, нильпотентность нильтреугольных матриц. Элементарные матрицы, их основное свойство.

• 17.17, 19.14, 19.15, 19.26, 19.3аг, 19.4, 17.26★;
• ★ доказать, что квадратная матрица A является делителем нуля тогда и только тогда, когда det(A)=0.

Обратная матрица: единственность, критерий существования. Если матрица A нильпотентна, то матрицы E+A и E-A обратимы. Присоединённая матрица, её основное свойство, формула для обратной матрицы. Матричные уравнения AX=B, метод их решения. Метод нахождения обратной матрицы решением матричного уравнения AX=E.

• 19.21, 18.17★, 18.8гк, 18.3взи, 18.9кл.

Арифметическое векторное пространство R^n. Линейные комбинации векторов, линейная зависимость, задача: выяснить линейную зависимость или независимость систем векторов {u+v,u+w,v+w} и {u-v,u-w,v-w}, где u,v,w∈R^n — линейно независимые векторы. Свойства линейно зависимых и независимых систем векторов, основная лемма о линейной зависимости. Базис и ранг системы векторов, координаты вектора в базисе. Стандартный базис пространства R^n, координаты в нём. Алгоритм нахождения базиса.

• ★ доказать, что для любой матрицы A существует такая матрица B, что ABA=A и BAB=B (квазиобратная матрица);
• 6.4, 6.14, 6.11, 6.13, 6.12вги, 7.19★;
• ★ доказать, что подсистема векторов B⊂S является базисом системы векторов S тогда и только тогда, когда B — миинимальная по включению подсистема, линейно порождающая систему S.

Подпространства в R^n, размерность подпространства. Способы задания подпространств: линейная оболочка системы векторов, пространство решений ОСЛУ. Фундаментальная система решений ОСЛУ (ФСР). Алгоритм нахождения ФСР. Различные определения ранга матрицы, свойства ранга: неизменность при элементарных преобразованиях строк и столбцов и при транспонировании матрицы. Вычисление ранга матрицы путем приведения к ступенчатому виду и методом окаймления миноров.

• 8.4вг, 8.25★, 7.1дл, 7.2аж, 7.6, 7.10.

Ранг произведения матриц, случай невырожденности одного из сомножителей. Задача: если AB и BA — единичные матрицы, то A и B — квадратные матрицы. Вычисление ранга блочной матрицы. Ранг присоединённой матрицы. Определитель произведения матриц.

• 7.11, 15.2бв, 16.4, 16.19.

1. Решение СЛУ в зависимости от параметра.
2. Нахождение ФСР и размерности пространства решений ОСЛУ (1 вариант); нахождение базиса системы векторов и выражение через него остальных векторов системы (2 вариант).
3. Нахождение обратной матрицы (1 вариант); решение матричного уравнения (2 вариант).
4. Вычисление определителя размера 4×4.
5. Вычисление определителя размера n×n.
6. Решение уравнения в подстановках (1 вариант); вычисление трёхдиагонального определителя (2 вариант).

Поле комплексных чисел C. Алгебраическая форма записи комплексных чисел, модуль комплексного числа и сопряжённое число, вычисления над комплексными числами в алгебраической форме. Геометрическая интерпретация комплексных чисел, решение алгебраических задач геометрическими методами (пример: уравнение |(z+1-i)/(z-1+i)|=1) и геометрических задач методами алгебры комплексных чисел (пример: доказательство теоремы о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон). Аргумент комплексного числа, тригонометрическая форма записи комплексных чисел, вычисления над комплексными числами в тригонометрической форме, формула Муавра. Выражение тригонометрических функций кратных углов через функции исходного угла и степеней тригонометрических функций через функции кратных углов в первой степени с помощью комплексных чисел. Автоморфизмы полей и их расширений, группы Галуа, пример: группа Gal(C/R), её структура.

• 20.1еж, 21.2бж, 21.9аг, 21.10, 21.12, 21.13г;
• доказать с помощью комплексных чисел теорему Птолемея: произведение диагоналей четырёхугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений его противоположных сторон;
• найти группу Gal(R).

Извлечение корней из комплексных чисел. Задача: вычислить cos(2π/5) в радикалах с помощью комплексных корней 5-й степени из 1. Группа U_n комплексных корней степени n из 1, сумма и произведение всех корней степени n из 1, первообразные корни из 1.

• 22.7ипр, 22.8бв, 22.9б, 22.17аб, 22.22★;
• доказать эквивалентность трёх определений первообразного корня ε степени n из 1:
  1. ε^n=1, но ε^m≠1 при 0<m<n;
  2. для любого δ∈U_n существует такое m∈N, что δ=ε^m;
  3. ε=exp(2πki/n), причём числа k и n взаимно просты.

Вычисление сумм с помощью комплексных чисел. Многочлены от одной переменной над полем K. Степень многочлена, её свойства, отсутствие делителей нуля в кольце многочленов K[x]. Деление многочленов с остатком. Деление с остатком на линейный двучлен, теорема Безу, схема Горнера. Разложение многочлена по степеням линейного двучлена. Производная многочлена, её свойства. Высшие производные, формула Тейлора.

• 23.1вг, 23.2бв, 26.1бв, 26.2бв.

Кратность корня многочлена, связь со значениями производных. Неприводимые многочлены, разложение многочлена на неприводимые множители, выяснение вопросов о делимости многочленов в терминах этого разложения. Наименьшее общее кратное (НОК) и наибольший общий делитель (НОД) многочленов, нахождение НОК и НОД по разложению на неприводимые множители. Алгоритм Евклида. Линейное выражение НОД через исходные многочлены: (f,g)=uf+vg, его единственность при ограничениях на степени u и v, и его нахождение методом неопределённых коэффициентов. Избавление от кратных множителей в разложении многочлена на неприводимые множители.

• 26.3бв, 26.4, 26.7, 26.11★, 25.2вг, 25.3б, 25.8б;
• найти НОД многочленов x^n-1 и x^m-1.

Разложение многочленов на неприводимые множители над полями C и R. Неприводимых многочленов над любым полем бесконечно много. Существование неприводимых многочленов сколь угодно большой степени над конечным полем. «Решето Эратосфена» для нахождения всех неприводимых многочленов степени ≤n над конечным полем. Нахождение всех неприводимых многочленов степени ≤4 над полем Z_2.

• 27.1ад, 27.6, 27.7, 27.2бгде, 27.12, 27.14★, 28.23;
• найти все неприводимые многочлены степени 5 над полем Z_2;
• найти все неприводимые многочлены степени ≤3 со старшим коэффициентом 1 над полем Z_3.

Над полем Q существуют неприводимые многочлены любой степени. Нахождение всех рациональных корней многочлена с целыми или рациональными коэффициентами. Редукция многочленов с целыми коэффициентами по простому модулю, её применение к изучению вопроса о разложимости на множители с целыми коэффициентами, редукционный признак неприводимости. Примитивные многочлены, лемма Гаусса. Эквивалентность неразложимости на множители меньшей степени над Q и над Z. Признак Эйзенштейна.

• 28.1в, 28.2бв, 28.3, 28.9;
• разложить на неприводимые множители над полем Q:
  1. 3x^5-2x^4+5x^3-4x^2-5x-1,
  2. 2x^4-3x^3+5x^2+8x-5,
  3. 3x^4-x^3+5x^2+8x-7;
• ★ доказать, что многочлен x^4-10x^2+1 неприводим над Q, но его редукция по любому простому модулю p приводима над Z_p.

Поле K(x) рациональных дробей над полем K. Несократимое представление рациональной дроби, её разложение в сумму многочлена и правильной дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей методом неопределённых коэффициентов, примеры для K=C и R. Многочлены от нескольких переменных, симметрические многочлены, примеры: степенные суммы s_k и элементарные симметрические многочлены σ_k. Теорема Виета. Основная теорема о симметрических многочленах, метод неопределённых коэффициентов для нахождения выражения произвольного симметрического многочлена через элементарные. Выражение степенных сумм s_1,…,s_4 через элементарные симметрические многочлены.

• 29.1бе, 29.2аги, 31.9авер, 31.15, 31.21а, 31.2, 31.5, 31.25а.

1. Возведение в степень (1 вариант) и извлечение корней (2 вариант) в поле C.
2. Нахождение НОД двух многочленов и его линейного выражения через эти многочлены.
3. Разложение многочлена на неприводимые множители над полем R (1 вариант); разложение многочлена по степеням линейного двучлена, определение кратности корня и вычисление значений высших производных (2 вариант).
4. Разложение многочлена на неприводимые множители над полем Q.
5. Разложение рациональной дроби в сумму многочлена и простейших дробей над полем C (1 вариант) и R (2 вариант).
6. Выражение симметрического многочлена через элементарные симметрические многочлены.