Кафедра высшей алгебры

Михеенко Михаил Александрович

Бесконечные системы уравнений над абелевыми и нильпотентными группами

Все (квадратные) конечные системы уравнений с определителем 1 над произвольной абелевой группой имеют решение в этой же абелевой группе. Это можно понять, например, с помощью метода Крамера. На самом деле, то же верно даже для всех нильпотентных групп: это теорема А. Л. Шмелькина (https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=al&paperid=1100&option_lang=rus).

Для бесконечных систем уравнений такое утверждение не верно: оно нарушается уже на абелевых группах (например, на группах Z, Z_2+Z_3+Z_5+… и Z_2+Z_4+Z_8+…). Данный доклад будет посвящён критерию, проясняющему, когда периодическая абелева группа нарушает это утверждение. Также будет что-то сказано и о нильпотентных группах (то есть об обобщении теоремы Шмелькина на бесконечные системы уравнений). Эти результаты содержатся в препринте https://arxiv.org/abs/2410.20729 .

Немиро Владислав Викторович

Группа частных полугруппы обратимых неотрицательных матриц над локальным кольцом (представление диссертации)

Матричные группы – традиционный объект исследования математиков. Различные вопросы, связанные с их структурой, изучались К.Жорданом, Л.Диксоном, Б. ван дер Варденом, Г.Вейлем, Ж.Дьедонне, Ж.Титсом и их многочисленными последователями в огромном количестве работ. Ко второй половине XX века сложилось несколько крупных направлений исследования линейных групп, среди которых изучение нормальных подгрупп, описание линейных групп с помощью образующих и определяющих соотношений, описание подгрупп, порожденных некоторыми специальными элементами, а также описание автоморфизмов и изоморфизмов между линейными группами.

В данном докладе будут представлены основные результаты диссертации:

• Описана система образующих полугруппы G_3(F) над телом F.
• Доказано, что матрицы элементарных преобразований являются системой образующих для общей линейной группы над линейно упорядоченными не обязательно коммутативными кольцами с обратимой двойкой.
• Доказано, что группа частных полугруппы неотрицательных матриц над линейно упорядоченным не обязательно коммутативным кольцом с обратимой двойкой совпадает с общей линейной группой над этим кольцом.
• Описаны эндоморфизмы полугруппы G_n(R), где R – линейно упорядоченное не обязательно коммутативное кольцо с обратимой двойкой.

Елена Константиновна Брусянская

Некоторые теоремы о делимости в группах (представление диссертации)

Вопрос о делимости числа решений уравнений в группах интересовал математиков еще в XIX веке. В 1895 году Фробениус показал, что число решений уравнения xⁿ=1 в конечной группе G делится на наибольший общий делитель порядка группы и n для любого натурального n. Соломон в 1969 году получил похожий, но, на первый взгляд, не связанный с теоремой Фробениуса результат о числе решений системы уравнений, в которой уравнений меньше, чем неизвестных.

В ходе моей совместной работы с А.В. Васильевым и А.А. Клячко в 2019 году удалось доказать одну общую теорему, включающую оба результата. Позже удалось применить полученную в 2019 году теорему о делимости к оценке делимости числа эпи-, моно- и гомоморфизмов групп и числа наборов элементов группы, удовлетворяющих формуле первого порядка.

В данном докладе будут представлены основные результаты диссертации:

• Теорема, включающая в себя теорему Фробениуса (1895), теорему Соломона (1969) и теорему Ивасаки (1982) о корнях из подгрупп.
• Теорема о делимости числа решений систем уравнений для ассоциативных колец с единицей.
• Теорема о формуле первого порядка в групповом языке с константами, обобщающая результат Клячко—Мкртчян в случае равенства ранга матрицы формулы числу неизвестных.
• Теорема о делимости числа эпи-, моно- и гомоморфизмов групп с различными условиями на подгруппы.

Докладчик: Жеглов Александр Борисович

«Нормальные формы для обыкновенных дифференциальных операторов»

Рассматривая кольцо обыкновенных дифференциальных операторов D_1=Kx[d] как подкольцо некоторого полного некоммутативного кольца $\hat{D}_1$ (отличного от известного кольца формальных псевдодифференциальных операторов!), нормальные формы дифференциальных операторов, упомянутых в заголовке, получаются после сопряжения на некоторый обратимый оператор («оператор Шура»), вычисляемый с помощью одного из операторов в кольце.

Нормальные формы коммутирующих операторов — это многочлены с постоянными коэффициентами в операторах дифференцирования, интегрирования и сдвига, имеющие конечный порядок по каждой переменной, и могут быть эффективно вычислены для любых заданных коммутирующих операторов. Согласно известной классификации (теорема Кричевера и ее различные обобщения), любое коммутативное подкольцо ОДО может быть закодировано в терминах спектральных данных, состоящих из неприводимой проективной кривой (может быть особой), спектрального пучка ранга r (пучок без кручения с нулевыми когомологиями) и некоторых дополнительных формальных данных.

Я расскажу о некоторых приложениях теории нормальных форм: эффективной параметризации пространства модулей спектральных пучков на проективной кривой, а также о соответствии между решениями уравнения струны [P,Q]=1 в кольце дифференциальных операторов (и в частности, в первой алгебре Вейля) и парами коммутирующих обыкновенных дифференциальных операторов ранга один. Решения уравнения струны в первой алгебре Вейля описывают всевозможные ее эндоморфизмы, и таким образом удается получить новые условия, выделяющие эндоморфизмы, не являющиеся автоморфизмами.

Совместное заседание научно-исследовательских семинаров

кафедр алгебры и теоретической информатики, посвященное памяти А.В. Михалёва.

ПРОГРАММА 16:45 Открытие семинара

17:00 Маркова О.В. «Функция длины алгебр».

17:30 Тензина В.В. «Топологически первичный радикал колец».

18:00 Голубков А.Ю. «Ортогональное пополнение алгебраических систем»,

Планируется трансляция по ЗУМ.

https://us05web.zoom.us/j/81629965224?pwd=yEyvMAUSTcTrerm02T7K91a2b0ju8V.1

Идентификатор конференции: 816 2996 5224 Код доступа: 271828

Докладчик: Хрыстик Михаил Андреевич

«Гипотеза Паза для матриц порядка 6»

Из теоремы Гамильтона-Кэли следует, что любой многочлен от матрицы может быть выражен многочленом от этой матрицы степени не выше n-1, где n - порядок матрицы. В 1984-м году А. Паз предположил, что любой многочлен от нескольких матриц порядка n может быть выражен многочленом от этих матриц степени не выше 2(n-1), и доказал свою гипотезу для n<5. В 2019-м году Я. Шитов доказал гипотезу Паза для n=5. В докладе же будет рассмотрен случай n=6.

семинар не состоится.

Докладчик А.С. Гордиенко

«Категорный подход к полиномиальным тождествам» (начало доклада в 16:55)

Традиционно под полиномиальным тождеством в некоторой алгебраической структуре A понимается такое формальное равенство f ≡ g двух элементов f и g соответствующей свободной алгебраической структуры, которое оказывается верным после подстановки произвольных элементов алгебраической структуры A вместо своих переменных. С другой стороны, в математике и физике находят своё применение и алгебраические структуры, операции в которых имеют вид линейных отображений между тензорными степенями пространства A, например, коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа, заплетённые векторные пространства, модули Йеттера—Дринфельда. Для таких алгебраических структур соответствующие свободные алгебраические структуры могут не существовать, как, например, не существует свободных коалгебр.

В докладе будет показано, что в традиционном определении полиномиального тождества неявно присутствует тривиальная структура комоноида, которая позволяет вводить тождества, не являющиеся полилинейными. Более того, будет рассказано, как, используя заплетённый аналог алгебраических теорий Ловира и ПРОПов Маклейна, ввести понятие (полилинейного) полиномиального тождества для произвольной Ω-магмы A в заплетённой моноидальной категории, а в случае, когда это категория линейна над некоторым полем, ввести и коразмерности тождеств. Наконец, будут приведены примеры вычисления коразмерностей и базиса тождеств в алгебрах Хопфа и модулях Йеттера—Дринфельда.

Докладчик М.В. Зайцев

«Тождества с инводюцией и их числовые характеристики»

С каждой алгеброй A над полем нулевой характеристики можно связать целочисленную последовательность (называемую последовательностью коразмерностей), характеризующую количество тождеств алгебры A. Если алгебра A наделена дополнительной структурой, например, градуировкой или инволюцией, то можно изучать гградуированные тождества или тождества с инволюцией. Точное значение членов этой последовательности удается вычислить чрезвычайно редко. Основное внимание в докладе будет уделено характеру асимптотического поведения последовательностей коразмерностей различных классов алгебр с дополнительной структурой.

Докладчик Гайфуллин С.А.

Доклад «О конечномерных однородных алгебрах Ли дифференцирований кольца многочленов».

Доклад основан на совместной работе с И.В. Аржанцевым и В.Е. Лопатиным.

Анонс: Рассмотрим алгебру многочленов от n переменных над полем нулевой характеристики. На этой алгебре есть естественная Z^n- градуировка при которой все переменные являются однородными и степень x_i равна e_i, то есть i-му вектору стандартного базиса Z^n. Мы рассматриваем дифференцирования этой алгебры. Дифференцирование называется однородным, если оно переводит однородные элементы в однородные. Несложно показать, что для любого однородного дифференцирования корректно определена его степень, то есть такой элемент Z^n, на который дифференцирование сдвигает градуировку. Несложно показать, что степень дифференцирования может быть либо -e_i (такие дифференцирования мы будем называть дифференцированиями I типа), либо имеет неотрицательные координаты (такие дифференцирования мы будем называть дифференцированиями II типа).

Известный факт, что дифференцирования образуют алгебру Ли относительно операции коммутирования. Нас интересует вопрос при каких условиях алгебра Ли, порождённая конечным числом однородных дифференцирований, конечномерна. Для дифференцирований типа I ответ на этот вопрос был получен ранее в работе Аржанцева-Лиендо-Стасюка. Ответ формулируется в терминах ориентированного графа, построенного по множеству порождающих дифференцирований. Условие конечномерности алгебры Ли равносильно ацикличности этого графа.

В докладе будет рассказано о решении данного вопроса в случае набора дифференцирований типа II. Критерий конечномерности также будет сформулирован в виде ацикличности некоторого ориентированного графа. Также будет рассказано про структуру получающихся конечномерных алгебр.

Архив