Кафедра высшей алгебры

Преподаватель Гордиенко Алексей Сергеевич

Контрольные домашние задания выполняются в отдельной тетради и являются частью зачёта.

Задание N1

1) понятие векторного пространства, базисы: 34.3(в,ж), 34.7(а,б,в,г*), 34.8(а,б,в,г,з), 34.10(б,в), 34.11(б), 34.14(в,г);

2) подпространства, их сумма и пересечение, прямая сумма подпространств: 35.3(а-е), 35.10, 35.13(а,б), 35.14(а,в), 35.15(б,г), 35.16(б), 35.19, 35.20, 35.21, 35.25, 35.26, 35.27;

3) линейные операторы, матрица линейного оператора, ядро и образ: 8.3(а), 8.5(б,в)+найти базис в образе, 39.7, 39.15(б), 39.19(б), 39.21, 39.23;

4) линейные функции: 36.11, 36.13, 36.15;

5) собственные векторы, инвариантные подпространства: 40.8, 40.12, 40.13, 40.14, 40.15(а,б), 40.16(б,в), 40.26, 40.27;

6) корневые подпространства, жорданова нормальная форма, минимальный многочлен: 40.28, 40.35(б), 41.1(б-е)+найти базис ж.н.ф. и минимальный многочлен, 41.1(и,л)+найти минимальный многочлен (базис ж.н.ф. не нужно), 41.8, 41.10(в,г)+найти базис ж.н.ф. и минимальный многочлен, 41.18;

7) билинейные функции: 37.1(а-з), 37.6(б), 37.7(б), 37.9(а), 37.22, 37.23, 37.32(а);

8) симметрические билинейные функции и квадратичные формы: 38.4, 38.8(б) (через элем. преобразования), 38.18(б,г);

9) полуторалинейные функции, билинейные кососимметрические функции, изотропные подпространства: 37.32(б), 37.33 (б,в), 38.14(а), 38.15(б,г), 38.17(б), 38.18(е), 38.19(б), 38.26 (речь идёт о макс. подпр-ве, ограничение на которое нашей билинейной функции нулевое).

Срок сдачи домашнего задания N1 - на контрольной работе N1.

Задание N2

10) евклидовы пространства: 43.7(б,д), 43.15(в,г), 43.17, 43.18(а), 43.19(б,в)+вычислить угол, 43.20, 43.21(б,в)+вычислить угол, 43.24, 43.25, 43.36(б), 43.38(б,в,г);

11) сопряжённые и нормальные операторы: 44.5-44.8, 44.14-44.17, 44.18 (о.н.б. из собственных векторов), 44.19, 44.22;

12) самосопряжённые операторы, приведение квадратичных форм к главным осям: 45.1, 45.3, 45.4(в,г,д,е), 45.14, 45.17, 45.19(в,г,д,е), 45.21(б);

13) ортогональные и унитарные операторы, полярное разложение: 46.1, 46.2, 46.5 (пункт «б» только для евкл. пр-в), 46.6(а,в,г,е), 46.7(а,б), 46.16(б), 46.17;

14) аффинные пространства и отображения, дифференциал: 49.1, 49.3, 49.4, 49.6, 49.13, 49.16(б,в)+найти аффинную оболочку, указав базис в направляющем пр-ве, 49.20(б,в), 49.23, 49.24, 49.27(а).

Срок сдачи домашнего задания N2 - на контрольной работе N2.

Задание N3

15) евклидовы точечные пространства: 51.5, 51.6(б), 51.7(б), 51.12(б), 51.13(а,б), 51.14(б,в);

16) движения в евклидовых точечных пространствах: 51.23 (в,д), 51.24(б,г) (+ в обеих задачах привести ортог. оператор к каноническому виду и найти инвариантную плоскость);

17) гиперповерхности 2-го порядка: 52.4, 54.5 (в выражении для B опечатка), 52.9, 52.10, 52.21(б,г,д,и,м), 52.22(в,и,ж,л) (в последних двух задачах каноническую систему координат искать не обязательно);

Упражнение: доказать, что если x и y - центры кв. функции Q, то Q(x)=Q(y).

18) проективные пространства: 53.1(б), 53.2(б), 53.4(б,в), 53.10, 53.11, 53.13, 53.15;

19) тензоры: 47.3(б), 47.7(б), 47.8(б,в,г), 47.13(б,в), 47.16(б,в);

20) симметрические и кососимметрические тензоры: 48.13, 48.15, 48.16(а,б).

Срок сдачи домашнего задания N3 - на контрольной работе N3.

Задания, отмеченные знаком *, являются необязательными.

Литература: Сборник задач по алгебре / под ред. А.И. Кострикина, изд. 3-е. М.: Физматлит, 2001.