Кафедра высшей алгебры

1. Системы линейных уравнений, методы их решения.
2. Векторные пространства, линейная зависимость векторов, базис. Ранг системы векторов.
3. Матрицы, операции над ними.
4. Перестановки и подстановки.
5. Определители.
6. Основные алгебраические структуры: группы, кольца, поля.
7. Комплексные числа, «основная теорема алгебры».
8. Вычеты.
9. Теория многочленов: деление с остатком, корни многочленов, разложение на множители.
10. Многочлены от нескольких переменных. Симметрические многочлены.
11. Рациональные дроби.

1. Э.Б.Винберг. Курс алгебры.
2. А.И.Кострикин. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.
3. А.Г.Курош. Курс высшей алгебры.
4. Сборник задач по алгебре под ред. А.И.Кострикина. Часть I. Основы алгебры.

Нумерация задач даётся по «Сборнику задач по алгебре» под ред. А.И.Кострикина, 3-е изд., Москва, Физматлит, 2015. Дополнительные задачи помечены знаком ★.

Матрицы: определение. Квадратные, диагональные, (главная и побочная диагональ), верхние и нижние треугольные матрицы. Операции сложения и умножения на число. Свойства этих операция.

Определители 2-го и 3-го порядка: определение. Описание метода разложения по строке/по столбцу.

Ведущие элементы (лидеры) строк матрицы. Матрицы ступенчатого вида. Элементарные преобразование над строками. Метод Гаусса приведения матрицы к ступенчатому (и улучшенному ступенчатому) виду.

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и их решения: определение и примеры. Совместные и несовместные, определённые и неопределённые СЛАУ. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы.

Элементарные преобразования систем линейных уравнений. Их связь с элементарными преобразованиями над строками расширенной матрицы. Элементарное преобразование приводит к эквивалентной СЛАУ.

Метод Гаусса решения СЛАУ: приведение к ступенчатому (и улучшенному ступенчатому) виду, анализ ступенчатой СЛАУ, главные и свободные неизвестные, общее решение системы.

Определители 2-го и 3-го порядка. Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка по определению и методом разложения по строке/по столбцу.

Домашнее задание: 9.1 в,г,д, 9.2 а,б (решить методом разложения по строке/по столбцу),в,д,е

Общее решение системы. Преимущество улучшенного ступенчатого вида.

Однородные системы линейных уравнений (ОСЛУ), их совместность. ОСЛУ с числом уравнений меньше числа неизвестных имеет ненулевое решение.

Векторное пространство. Примеры. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и линейная независимость системы векторов. Критерий линейной зависимости.

1) Метод Гаусса решения СЛАУ. СЛАУ с параметром.

2) Векторное пространство: проверка аксиом. Проверка системы векторов на линейную зависимость.

Домашнее задание:

1) 8.1 б,в,г, 8.2 в,г,з

2) 6.2 б, 6.3 б,д, 6.4, 6.7д, 6.8, 6.9 б,д, ★6.14

3) Доказать следствия из аксиом векторного пространства V над R:

• единственность нулевого вектора,

• единственность противоположного вектора,

• λ0=0, λ(-x)=-λx, λ(x-y)=λx-λy, 0x=0, (-1)x=-x, (λ-µ)x=λx-µx, где x,y∈V, λ,µ∈R.

1) Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем.

2) Определение векторного подпространства. Примеры.

3) Линейная оболочка системы векторов. Определение множества, порождающего векторное пространство. Основная лемма о линейной зависимости.

4) Определение базиса. Свойства. Всякое конечномерное векторное подпространство обладает базисом. Все базисы конечномерного векторного пространства содержат одно и то же число векторов. Определение размерности векторного пространства. Примеры.

Всякую линейно независимую систему векторов конечномерного векторного пространства можно дополнить до базиса.

Определение векторного пространства.

Базис системы векторов.

Домашнее задание:

1) Доказать Лемму 1 и Лемму 2.

2) 6.10 (а,б), 6.11

Определение ранга системы векторов. Определение ранга матрицы как ранга системы ее строк. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях над строками. Ранг матрицы ступенчатого вида равен числу ее ненулевых строк.

Критерий совместности и определенности СЛАУ в терминах рангов матриц (теорема Кронекера-Капелли).

Ранг системы столбцов матрицы не меняется при элементарных преобразованиях над строками. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях над столбцами. Ранг системы строк матрицы равен рангу системы ее столбцов.

Алгоритм нахождения базиса и ранга конечной системы векторов и линейных выражений всех векторов системы через найденный базис.

Алгоритм нахождения базиса и размерности линейной оболочки.

Ранг матрицы.

Домашнее задание: 6.12 (б,г,д), 6.10 (б,д), 6.13, 35.11, 7.1 (б,к,л) (решить методом ЭП), 7.2 (д,е,з), 7.3, 7.5

1)Однородные СЛАУ. Свойства решений однородной СЛАУ. Подпространство решений однородной СЛАУ и его базис (ФСР). Теорема о размерности подпространства решений однородной СЛАУ. Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений.

2) Определение перестановки из n элементов. Инверсии и знак перестановки.

1) Нахождение ФСР однородной СЛАУ. Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений.

2) Перестановки. Инверсии. Знак перестановки.

Домашнее задание:

1) 8.4 (в,г), 8.1 (в,г), ★7.19, ★8.25

2) 3.5 (б,в,г,д)

1)Свойства перестановок.

2) Формула полного разложения определителя. Примеры определителя 2-го и 3-го порядка. Определитель треугольной матрицы.

3) Определитель как полилинейная кососимметрическая функция. Элементарные преобразования над строками определителя. Вычисление определителя посредством приведения к треугольному виду.

1) Задачи на формулу полного разложения определителя.

2) Свойства определителя. Метод Гаусса вычисления определителей.

Домашнее задание: 10.2, 10.4 г,д, 10.6, 11.1, 11.2, 11.3, 13.1 б.е, 13.2 а, б, з.

Определитель транспонированной матрицы. К какому виду можно привести матрицу с помощью элементарных преобразований, если определитель матрицы равен нулю (отличен от нуля)? Определитель матрицы с углом нулей. Разложение определителя по строке (столбцу). Фальшивое разложение. Определитель Вандермонда.

Определители. Разложение по строке (по столбцу). Рекуррентные соотношения.

Домашнее задание: 12.2, 12.3 д,и, 14.1 г-ж, 4.1, 4.2 б

1) Умножение матриц, свойства. Транспонирование матриц, свойства.

2) Связь операций над матрицами и ранга. Ранг суммы матриц. Ранг произведения матриц.

1) Умножение матриц, свойства. Транспонирование матриц, свойства.

2) Связь операций над матрицами и ранга. Ранг суммы матриц. Ранг произведения матриц.

Домашнее задание: 17.1 в,ж, 17.2 б, 17.4 а, 17.5а, 7.7, 7.10, 7.11, 7.12,

1) Элементарные матрицы, их связь с элементарными преобразованиями над строками и столбцами матрицы.

2) Определитель произведения матриц.

3) Критерий равенства определителя нулю. Теорема о ранге матрицы (характеризация матрицы в терминах миноров).

4) Обратные матрицы. Определение. Критерий существования обратной матрицы. Обоснование метода элементарных преобразований для нахождения обратной матрицы.

1) Определитель произведения матриц.

2) Метод окаймляющих миноров.

3) Обратные матрицы.

Домашнее задание:

1) 15.1, 15.2 (а, б, в),

2) 7.1 (б,з,к) (решить методом окаймляющих миноров),

3) 18.8 (г,ж,з,л), 18.9 (е,ж,л), 18.10 (б), ★18.17, 18.18, ★17.26

1) Матричные уравнения. Правило Крамера.

2) Бинарные операции. Определение коммутативности, ассоциативности бинарной операции, нейтрального элемента, обратного элемента, обратимого элемента. Примеры. Утверждение об единственности нейтрального элемента. Утверждение об единственности обратного элемента. Определение группоида, полугруппы, моноида, группы. Примеры.

1) Матричные уравнения. Правило Крамера.

2) Бинарные операции. Определение коммутативности, ассоциативности бинарной операции, нейтрального элемента, обратного элемента, обратимого элемента. Определение группоида, полугруппы, моноида, группы.

Домашнее задание:

1) 18.3 (а,д,в,г,з,и), 8.6 (б, д)

2) 54.1(д), 54.3, 55.1, 55.5, 55.6

Группа преобразований. Группа подстановок (операции над подстановками, разложение на независимые циклы, разложение в виде произведения транспозиций)

Контрольная работа по темам:

1) Однородные и неоднородные СЛАУ.

2) Ранг системы векторов. Ранг матрицы.

3) Определители.

4) Обратные матрицы.

5) Матричные уравнения.

Домашнее задание:

1)Группа подстановок. Умножение на транспозицию. Доказательство утверждения о разложении подстановки в виде произведения транспозиций. Четность. Свойства.

2) Комплексные числа. Операции в алгебраической форме. Свойства. Операции в тригонометрической форме. Утверждение о произведении и делении в тригонометрической форме. Следствие о возведении в степень. Утверждение об извлечении корня из ненулевого комплексного числа.

1) Четность подстановок.

2) Комплексные числа. Операции в алгебраической форме. Операции в тригонометрической форме.

Домашнее задание:

1)3.6 (в,г,д)

2) 20.1 (б,г,к), 20.3 (а), 20.4 (а), 21.1 (г,и,ф,х), 21.2 (а,б,ж), 22.7 (б,в,п), 23.1 (а), 23.2 (а,в)

1) Группы. Порядок группы. Подгруппы. Примеры. Циклические подгруппы. Порядок элемента. Свойства порядка элемента. Порождающее множество.

2) Изоморфизм групп. Свойства изоморфизма. Утверждение об изоморфизме циклических групп одинакового порядка.

3) Определение гомоморфизма групп. Примеры. Свойства.

4) Смежные классы. Примеры. Свойства. Теорема Лагранжа. Следствие о том, что порядок элемента делит порядок конечной группы. Следствия о цикличности группы простого порядка и о подгруппах группы простого порядка.

5) Теорема о подгруппах циклической группы (б/д).

1) Подгруппы.

2) Циклические подгруппы. Порядок элемента.

3) Изоморфизм групп.

4) Определение гомоморфизма групп.

Домашнее задание:

1) 56.1 (а,б)

2) 56.3 (а,г,д,ж), 56.6, 56.8, 56.11, 56.12, 56.14, 56.15 (а), 56.16 (а)

3) 55.22 ★, 55.38 ★, 55.20, 55.21

4) 55.17, 55.18

1) Нормальные подгруппы. Факторгруппы.

2) Гомоморфизмы. Ядро и образ. Теорема о гомоморфизме.

Охрана попросила эвакуироваться.

Домашнее задание: 1) 58.1 (в,г), 58.2; 2) 58.33 (а, б, в)

1) Определение кольца. Определение коммутативного (ассоциативного, с единицей) кольца. Примеры. Простейшие свойства. Определение обратимых элементов и делителей нуля. Простейшие свойства. Определение поля. Примеры. В поле нет делителей нуля.

2) Кольцо вычетов по модулю n. Утверждение о том, когда кольцо вычетов по модулю n является полем.

3) Мультипликативная группа ассоциативного кольца с единицей. Малая теорема Ферма.

4) Определение характеристики поля. Свойство характеристики.

5) Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Степень многочлена. Отсутствие делителей нуля и обратимые элементы в кольце многочленов над полем.

6) Деление с остатком в кольце многочленов над полем. Существование наибольшего общего делителя в кольце многочленов от одной переменной над полем (и в кольце целых чисел) и его представление в виде НОД(f,g)=fu+gv (алгоритм Евклида).

1) Определение кольца и поля. Делители нуля и обратимые элементы.

2) Деление с остатком в кольце многочленов над полем. Существование наибольшего общего делителя в кольце многочленов от одной переменной над полем (и в кольце целых чисел) и его представление в виде НОД(f,g)=fu+gv (алгоритм Евклида).

Домашнее задание:

1) 63.1 (а-ж), 63.3 (а,б), ★63.13

2) 25.1, 25.3, 25.7 (а,б)

Дополнительное занятие

1) Многочлены как функции. Разные многочлены над бесконечным полем задают разные функции.

2) Теорема Безу. Схема Горнера. Корни многочлена, кратность корня. Следствие из теоремы Безу. Число корней многочлена.

3) Формальная производная многочлена от одной переменной. Кратные корни. Понижение кратно¬сти при дифференцировании многочленов над полем характеристики 0.

4) Теорема об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел (основная теорема алгебры) (б/д). Следствия. Комплексные корни многочленов с вещественными коэффициентами. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные множители и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом.

5) Неприводимые многочлены. Неприводимые многочлены над полем комплексных и полем действительных чисел. Факториальность кольца многочленов от одной переменной над полем.

1) Многочлены как функции. Корни многочлена, кратность корня. Теорема Безу, следствие о корнях. Схема Горнера. Формальная производная многочлена от одной переменной. Определение кратности корней многочленов над полем характеристики 0 путем дифференцирования.

2) Неприводимые многочлены. Неприводимые многочлены над полем комплексных и полем действительных чисел. Разложение многочлена с комплексными коэффициентами на линейные множители. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные множители и квадратичные множители с отрицательным дискриминантом.

3) Примеры неприводимых многочленов над конечными полями. Разложение на неприводимые над полем вычетов.

Домашнее задание:

1) 26.1 (в), 26.2 (в), 26.3 (б), 26.6

2) 27.1 (б,в), 27.2 (б),

3) 28.22 (а,б),

4) многочлены над полем рациональных чисел: 28.1, 28.2, 28.6, 28.8, 28.9 (б)

1) Кратные неприводимые множители. Отделение кратных множителей.

2) Поле частных. Поле рациональных функций. Простейшие и правильные дроби. Примеры. Теорема о разложении правильной дроби в сумму простейших дробей (б/д).

3) Кольцо многочленов от нескольких переменных. Степень многочлена от нескольких переменных. Одночлены. Однородные многочлены. Лексикографический порядок. Старший член многочлена. Лемма о старшем члене произведения многочленов.

Симметрические многочлены. Лемма о старшем члене симметрического многочлена. Элементарные симметрические многочлены. Лемма об одночлене от симметрических многочленов. Теорема о симметрических многочленах (б/д). Формулы Виета.

1) Кратные неприводимые множители. Отделение кратных множителей.

2) Поле рациональных функций. Простейшие и правильные дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей.

3) Кольцо многочленов от нескольких переменных. Лексикографический порядок. Старший член многочлена. Симметрические многочлены. Элементарные симметрические многочлены. Представление симметрического многочлена в виде многочлена от элементарных симметрических многочленов.

4) Формулы Виета.

Домашнее задание:

1) 25.8 (а)

2) 29.1 (в,г,и), 29.2 (в,г), ★(д,е), ★29.3

3) 31.9 (б), 31.10 (б)

4) 31.1 (б), 31.2 (б), 31.21 (б)

Вопросы к экзамену