Кафедра высшей алгебры

Лекция 1 (2 сентября). Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Лекция 2 (5 сентября). Существование ненулевого решения системы m однородных линейных уравнений с n неизвестными при m<n. Связь между множествами решений совместной системы линейных уравнений и соответствующей системы однородных линейных уравнений.

Определение поля. Построение поля комплексных чисел.

Лекция 3 (11 сентября). Комплексное сопряжение, его свойства.

Геометрическое изображение и тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня в тригонометрической форме.

Определение кольца. Построение кольца вычетов по модулю n.

Лекция 4 (12 сентября). Теоремы о том, когда кольцо вычетов является полем и, в общем случае, какие его элементы обратимы. Характеристика поля. Тождество (x+y)^p=x^p+y^p в поле характеристики p.

Операции над (прямоугольными) матрицами, их свойства.

Лекция 5 (19 сентября) Правила умножения матриц в терминах строк и столбцов. Умножение на диагональную матрицу. Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы как ее умножения на элементарные матрицы слева (справа).

Матричная запись системы линейных уравнений. Интерпретация элементарных преобразований системы как умножений на элементарные матрицы (слева).

Кольцо L_n(K) квадратных матриц порядка n над полем K - ассоциативное кольцо с единицей. Отсутствие коммутативности и наличие делителей нуля при n>1. Если матрицы A и B обратимы, то и матрица AB обратима, причем (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}. Элементарные матрицы обратимы.

Левые и правые обратные элементы в ассоциативном кольце с единицей. Если у элемента есть левый и правый обратные элементы, то они единственны и совпадают друг с другом.

Теорема. Следующие свойства квадратной матрицы эквивалентны: (1) с помощью элементарных преобразований строк она приводится к строго треугольному виду; (2) она является произведением элементарных матриц; (3) она имеет правую обратную; (4) она обратима.

Лекция 6 (23 сентября). Решение матричных уравнений AX=B. Обращение матрицы.

Транспонирование матриц, его свойства.

Матричная модель поля C.

Определение векторного пространства. Простейшие следствия аксиом. Определение подпространства.

Лекция 7 (30 сентября). Линейная оболочка <S> множества S векторов. Порождающие системы векторов. Конечномерные векторные пространства.

Линейно (не)зависимые системы векторов. Три леммы о линейной зависимости.

Определение базиса векторного пространства. Координаты вектора в данном базисе.

Теорема. Во всяком конечномерном векторном пространстве существует базис. Более того, из всякой порождающей системы можно выбрать базис.

Теорема. Все базисы конечномерного векторного пространства равномощны.

Размерность dim V векторного пространства V.

Теорема. Всякую линейно независимую систему векторов конечномерного векторного пространства можно дополнить до базиса.

Лекция 8 (3 октября). Размерность подпространства.

Описание всех базисов векторного пространства. Формулы преобразования координат.

Базис и ранг системы векторов. Эквивалентные системы векторов. Элементарные преобразования системы векторов.

Ранг матрицы (по строкам), его вычисление приведением матрицы к ступенчатому виду.

Критерии совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц. Размерность пространства решений системы однородных линейных уравнений.

Лекция 9 (10 октября). Сохранение линейных зависимостей между столбцами матрицы при элементарных преобразованиях ее строк. Равенство рангов систем строк и столбцов матрицы. Ранг произведения матриц.

Перестановки, их четность и знак. Изменение четности перестановки при любой транспозиции.

Определение определителя квадратной матрицы (с помощью явного выражения). Определители матриц порядков 1, 2. 3.

Лекция 10 (14 октября). Линейность и кососимметричность определителя по строкам матрицы. Сохранение определителя матрицы при элементарном преобразовании 1-го типа (добавлении к одной строке другой, умноженной на число). Вычисление определителя приведением матрицы к треугольному виду элементарными преобразованиями строк.

Теорема. Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля.

Теорема. Всякая функция на множестве квадратных матриц заданного порядка, кососимметрическая и линейная по строкам матрицы и равная 1 на единичной матрице, есть определитель. (Без доказательства.)

Геометрическая интерпретация определителя матрицы порядка 3 над полем R как объема параллелепипеда.

Определитель транспонированной матрицы. Определитель матрицы с углом нулей.

Лекция 11 (17 октября). Определитель Вандермонда.

Разложение определителя по строке (столбцу).

Определитель произведения матриц. Выражение объема (трехмерного) параллелепипеда через длины ребер и углы между ними.

Правило Крамера. Явное выражение элементов обратной матрицы.

Лекция 12 (24 октября). Применение определителя Вандермонда к задаче интерполяции. Следствие: многочлен степени n не может иметь >n различных корней.

Для квадратной матрицы A порядка n следующие условия эквивалентны:

1) матрица A обратима;
2) det A \neq 0;
3) rk A=n, т.е. строки (столбцы) линейно независимы.

Матрицы, удовлетворяющие этим условиям, называются невырожденными.

Подматрицы и миноры (прямоугольной) матрицы.

Теорема. Ранг матрицы равен наибольшему порядку ее миноров, отличных от нуля.

Их доказательства этой теоремы вытекает метод нахождения ранга матрицы окаймлением миноров.

Лекция 13 (28 октября). Понятие алгебры над полем K. Таблица умножения базисных векторов конечномерной алгебры определяет алгебру и может быть задана произвольным образом. Коммутативность и ассоциативность достаточно проверить для базисных векторов. Примеры: поле C как двумерная алгебра над R, алгебра матриц, алгебра кватернионов.

Для бесконечномерных векторных пространств понятия линейной зависимости, линейной оболочки и базиса определяются так же, как для конечномерных, если условиться рассматривать только такие линейные комбинации бесконечных систем векторов, в которых лишь конечное число коэффициентов отлично от нуля. Все сказанное о таблицах умножения конечномерных алгебр переносится тогда на бесконечномерные алгебры.

Алгебра многочленов R[x] как подалгебра алгебры функций. Из теоремы об интерполяции следует, что если два многочлена равны тождественно (как функции), то равны их соответствующие коэффициенты. Базис и таблица умножения алгебры R[x].

Построение алгебры многочленов K[x] над произвольным полем K как счетномерной алгебры с базисом {e_0, e_1, e_2,…} и таблицей умножения e_ke_l=e_{k+l}. Это коммутативная ассоциативная алгебра с единицей e_0. Переход к обычной записи многочленов.

Степень deg f многочлена f. Степень суммы и произведения многочленов.

Функция, определяемая многочленом. Если поле K бесконечно, то из функционального равенства многочленов следует равенство их коэффициентов. (Доказывается так же, как в случае K=R.)

Деление многочленов с остатком.

Лекция 14 (31 октября). Деление многочлена с остатком на x-c. Теорема Безу. Схема Горнера.

Разложение многочлена по степеням x-c. Формула Тейлора (для поля нулевой характеристики).

Следствие теоремы Безу. Кратность корня многочлена. Теорема о том, что число корней многочлена степени n с учетом их кратностей не превосходит n, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда многочлен разлагается на линейные множители. Формулы Виета.

Определение кратности корня многочлена через значения производных (для поля нулевой характеристики). Геометрический смысл кратности корня в случае K=R.

Лекция 15 (7 ноября). Основная теорема алгебры комплексных чисел и ее следствия о разложении на линейные множители и числе корней.

Свойство мнимых корней многочлена с вещественными коэффициентами.

Лекция 16 (11 ноября). Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные и квадратные множители с отрицательным дискриминантом.

Проблема отделения вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами. Теорема Декарта.

Лекция 17 (14 ноября). Целостные кольца. Наибольший общий делитель элементов целостного кольца, его единственность с точностью до ассоциированности в тех случаях, когда он существует.

Евклидовы кольца. Существование и линейное выражение наибольшего общего делителя элементов евклидова кольца.

Разложение на простые множители в евклидовом кольце. Описание всех делителей элемента евклидова кольца.

Лекция 18 (21 ноября). Многочлены с рациональными коэффициентами. Примитивные многочлены с целыми коэффициентами. Редукция по модулю p. Лемма Гаусса. Неприводимость над Q многочлена деления круга на p частей.

Многочлены от нескольких переменных. Совпадение функционального и формального равенства многочленов над бесконечным полем.

Степень одночлена. Однородные многочлены. Однородные компоненты многочлена.

Лексикографическое упорядочение одночленов, его свойства.

Лекция 19 (25 ноября). Старший член произведения ненулевых многочленов и отсутствие делителей нуля в кольце многочленов от n переменных. Степень произведения многочленов.

Симметрические многочлены, их (однозначное) представление в виде многочленов от элементарных симметрических многочленов.

Лекция 20 (28 ноября). Дискриминант многочлена. Вычисление дискриминанта неполного кубического многочлена. Определение числа вещественных корней кубического многочлена с вещественными коэффициентами по его дискриминанту.

Поле рациональных дробей. Правильные дроби. Разложение рациональной дроби в сумму многочлена и правильной дроби.

Простейшие рациональные дроби. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших дробей (без доказательства единственности).

Лекция 21 (5 декабря). Понятия группы, подгруппы и изоморфизма групп. Аддитивная группа кольца, мультипликативная группа поля, аддитивная группа векторного пространства, группа невырожденных матриц, группа движений евклидовой плоскости (пространства), группа подстановок. Примеры подгрупп этих групп.

Лекция 22 (9 декабря). Гомоморфизмы групп. Образ и ядро гомоморфизма. Полный прообраз элемента образа при гомоморфизме.

Левая (правая) сравнимость элементов группы по модулю подгруппы. Разбиение группы на левые (правые) смежные классы по подгруппе. Биекция между множествами левых и правых смежных классов.

Конечные группы. Порядок группы и индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и ее следствие: порядок подгруппы делит порядок группы.

Изоморфизм группы вращений куба и группы S_4. Гомоморфизм группы S_4 на группу S_3, его ядро.

Лекция 23 (12 декабря). Степени элемента группы. Циклическая подгруппа, порожденная элементом. Порядок элемента.

Графическое изображение подстановки и нахождение ее порядка.

Теорема: порядок элемента a конечной группы G делит порядок группы. Следствие: a^|G|=e. Малая теорема Ферма и теорема Эйлера.

Циклические группы. Изоморфность циклических групп одного порядка. Группы простого порядка.

Лекция 24 (19 декабря). Подгруппы циклических групп.

Цикличность мультипликативной группы конечного поля.

Квадратичные вычеты по модулю p. Теорема о том, что -1 является квадратичные вычетом по модулю p>2 тогда и только тогда, когда p=4k+1.

Конечное поле как конечномерная алгебра над Z_p. Число элементов конечного поля. Построение поля из p^2 элементов.