Лектор: Маркова Ольга Викторовна
С 20 октября лекции будут проходить дистанционно на платформе Zoom по вторникам на 2-й паре (11:00-12:35) и по четвергам на 1-й паре каждой чётной (нижняя неделя в расписании) неделе (9:00-10:35).
Лекции Виктора Тимофеевича Маркова, осень 2018
Вопросы к коллоквиуму
Программа экзамена
| №23 (17.12.2020) | Дискриминант многочлена, выражение дискриминанта через корни многочлена. Решение уравнений 3 и 4 степеней. Слайды лекции. |
| №22 (15.12.2020) | Результант двух многочленов, его выражение через корни многочленов. Исключение неизвестных из систем полиномиальных уравнений. Слайды лекции. |
| №21 (08.12.2020) | Кольцо многочленов от нескольких переменных. Лексикографический порядок на одночленах. Старший член произведения многочленов. Симметрические многочлены, их выражение через элементарные симметрические многочлены, формулы Виета. Слайды лекции. |
| №20 (03.12.2020) | Метод Штурма отделения вещественных корней многочлена. Слайды лекции. |
| №19 (01.12.2020) | Границы корней многочлена. Теорема Декарта. Слайды лекции. |
| №18 (01.12.2020) | Поле рациональных дробей. Простейшие дроби. Разложение правильной дроби в сумму простейших дробей, случай вещественного и комплексного полей. Слайды лекции. |
| №17 (19.11.2020) | Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. Неприводимые многочлены над полями комплексных и действительных чисел. Слайды лекции. |
| №16 (17.11.2020) | Неприводимые многочлены. Факториальность кольца многочленов и кольца целых чисел. Многочлен как функция. Схема Горнера. Корни многочлена, кратность корня. Понижение кратности корня при дифференцировании, избавление от кратных корней. Слайды лекции. |
| №15 (10.11.2020) | Кольцо многочленов от одной переменной над полем. Возможность и единственность деления на ненулевой многочлен с остатком. Наибольший общий делитель двух многочленов, его выражение через многочлены, алгоритм Евклида. Слайды лекции. |
| №14 (05.11.2020) | Поле комплексных чисел. Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Операция сопряжения комплексных чисел и ее свойства. Формула Муавра. Корни целой степени из комплексного числа. Группа комплексных корней из единицы.Слайды лекции. |
| №13 (03.11.2020) | Нормальные подгруппы и фактор-группы. Основные алгебраические структуры: кольца, поля. Слайды лекции. |
| №12 (27.10.2020) | Циклические группы. Порядок элемента. Подгруппы циклических групп. Изоморфизм циклических групп одного порядка. Теорема Кэли. Смежные классы, теорема Лагранжа и ее следствия. Нормальные подгруппы. Слайды лекции. |
| №11 (22.10.2020) | Определение группы. Примеры групп. Конечные и бесконечные группы, абелевы группы. Подгруппы. Гомоморфизмы и изоморфизмы групп. Слайды лекции. |
| №10 (20.10.2020) | Ранг произведения матриц. Факторизационный ранг матрицы. Матричная запись системы линейных уравнений. Строение общего решения неоднородной системы уравнений, его геометрическая интерпретация. Слайды лекции. |
| №9 (13.10.2020) | Умножение треугольных матриц. Матричные единицы и их умножение. Элементарные матрицы и их связь с элементарными преобразованиями. Определитель произведения матриц. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. |
| №8 (06.10.2020) | Операции над матрицами и их свойства. Обобщенная ассоциативность. Транспонирование произведения матриц. Умножение матрицы на диагональную матрицу слева и справа. Единичная матрица, ее единственность. Скалярные матрицы. Обратная матрица, ее единственность. Критерий существования и формула вычисления элементов обратной матрицы. |
| №7 (05.10.2020) | Формулы Крамера для решения определенных квадратных систем линейных уравнений. Миноры прямоугольной матрицы. Теорема об окаймляющих минорах. Вычисление ранга матрицы с помощью миноров (теорема о ранге матрицы). |
| №6 (29.09.2020) | Определитель матрицы с углом нулей. Определитель Вандермонда. Миноры и алгебраические дополнения элементов. Разложение определителя по строке(столбцу). Лемма о “фальшивом” разложении определителя. |
| №5 (22.09.2020) | Определитель квадратной матрицы, его основные свойства (линейность, кососимметричность, определитель транспонированной матрицы). Изменение определителя при элементарных преобразованиях строк (столбцов) матрицы. Определитель треугольной матрицы. Критерий равенства определителя нулю. |
| №4 (21.09.2020) | Группа подстановок конечного множества, знак подстановки (четность), знакопеременная группа, разложение подстановки в произведение транспозиций и независимых циклов. |
| №3 (15.09.2020) | Ранг матрицы. Критерий совместности и определенности системы линейных уравнений в терминах рангов матриц (теорема Кронекера-Капелли). Фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений. |
| №2 (08.09.2020) | Линейная зависимость строк (столбцов). Основная лемма о линейной зависимости, база и ранг системы строк (столбцов). Определения строчного и столбцового рангов матрицы. |
| №1 (07.09.2020) | Общая структура курса. Система линейных уравнений. Матрица коэффициентов и расширенная матрица системы. Приведение матриц и систем линейных уравнений к ступенчатому виду. Метод Гаусса. |