Кафедра высшей алгебры

Преподаватель: Д.А.Тимашёв

Лекции читаются по средам на 1-й паре (9:00-10:35) а ауд. 14-15.

Семинары проходят по пятницам на 2-й паре (10:45-12:20) а ауд. 15-03.

• 7 июня 2023, 10:00, ауд. 13-02

• 6 июня 2023, 13:00, ауд. 13-02

Программа экзамена

1. Э.Б. Винберг, А.Л. Онищик. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам.
2. Ж.-П. Серр. Алгебры Ли и группы Ли.
3. Ф. Уорнер. Основы теории гладких многообразий и групп Ли.

Группы Ли (вещественные и комплексные): определение и простейшие примеры. Прямое произведение групп Ли. Подгруппы Ли, их задание уравнениями. Пример: O_n ⊂ GL_n. Подгруппа в группе Ли, являющаяся подмногообразием в окрестности единицы, есть подгруппа Ли. Замкнутость подгрупп Ли в объемлющей группе Ли.

Видеозапись лекции

Если на многообразии с групповой структурой умножение дифференцируемо, то и инверсия дифференцируема. Примеры групп Ли: симплектическая и унитарная группы, U_n(C) = GL_n(C) ∩ O_{2n}(R) ∩ Sp_{2n}(R).

Домашнее задание

Компоненты связности группы Ли, связная компонента единицы и группа компонент. Пример: компоненты связности группы O_n(R). Связная группа Ли порождается (как абстрактная группа) любой окрестностью единицы.

Основные понятия дифференциального исчисления на многообразиях (напоминание): касательные векторы и касательные пространства, дифференциалы отображений, векторные поля. Дифференциальные уравнения (автономные, 1-го порядка) на многообразиях, фазовые кривые и фазовые потоки.

Видеозапись лекции

Кватернионная унитарная группа. Связность группы Ли GL_n(C) и связные компоненты группы Ли GL_n(R). Связность группы Ли Sp_{2n} (начало решения).

Домашнее задание

Действие диффеоморфизмов на дифференциально-геометрические объекты на многообразии (функции, векторные поля, и т.п.). Производная Ли вдоль векторного поля. Коммутатор векторных полей. Правоинвариантные векторные поля и алгебра Ли группы Ли G. Структура алгебры Ли на касательном пространстве в единице, пример: G = GL_n.

Видеозапись лекции

Фазовые потоки правоинвариантных векторных полей и однопараметрические подгруппы в группах Ли. Экспоненциальное отображение, его свойства. Экспоненциальные координаты на группе Ли в окрестности единицы, одновременная линеаризация всех подгрупп Ли в этих координатах. Связная подгруппа Ли восстанавливается по своей касательной алгебре Ли. Пересечение подгрупп Ли — подгруппа Ли, её касательная алгебра Ли — пересечение алгебр Ли этих подгрупп.

Видеозапись лекции

Связность группы Ли Sp_{2n} и связные компоненты группы Ли O_{p,q}(R). Вычисление касательных алгебр Ли.

Домашнее задание

Вычисление правоинваривнтных векторных полей и экспоненциального отображения на группе Ли. Вычисление дифференциала экспоненциального отображения в произвольной точке (не доведено до конца).

Домашнее задание

Гомоморфизмы групп Ли. Дифференциал гомоморфизма групп Ли (в единице) — гомоморфизм алгебр Ли. Функтор Ли. Связь гомоморфизма групп Ли с его дифференциалом через экспоненциальное отображение (формула φ • exp = exp • dφ), линеаризация гомоморфизмов групп Ли в экспоненциальных координатах, восстановление гомоморфизма связной группы Ли по его дифференциалу. Ядро и образ гомоморфизма групп Ли, их размерности и касательные алгебры Ли. Плотная обмотка тора. Прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме, его касательная алгебра Ли. Линейные представления групп Ли и их дифференциалы — линейные представления алгебр Ли. Присоединённое представление.

Видеозапись лекции

Свойства экспоненциалльного отображения (инъективность, сюръективность, диффеоморфность) для GL_n(C) и SL_2(R).

Домашнее задание

Дифференциал присоединённого представления группы Ли есть присоединённое представление её касательной алгебры Ли. Формула Ad • exp = exp • ad. Если элементы алгебры Ли коммутируют, то их экспоненты коммутируют. Связь между линейным представлением группы Ли и его дифференциалом — линейным представлением алгебры Ли: инвариантные подпространства, подпредставления и факторпредставления, приводимость, неприводимость, полная приводимость. Сопряжённое представление, прямая сумма и тензорное произведение линейных представлений групп Ли, их дифференциалы — соответствующие конструкции над линейными представлениями алгебр Ли.

Видеозапись лекции

Структура экспоненциалльного отображения и однопараметрических подгрупп для SL_2(R). Теорема Картана о замкнутых подгруппах групп Ли.

Домашнее задание

Действия групп Ли на многообразиях, орбитные отображения, поля скоростей. Свойства орбит и стабилизаторов. Стабилизатор вектора в линейном представлении группы Ли, его касательная алгебра Ли.

Видеозапись лекции

Завершение доказательства теоремы Картана. Разложение присоединённого представления группы Ли GL_n на неприводимые слагаемые.

Домашнее задание

Группа Ли автоморфизмов и алгебра Ли дифференцирований конечномерной алгебры. Представление изотропии. Транзитивные действия групп Ли и однородные многообразия. Орбитное отображение группы Ли на однородное многообразие является локально тривиальным расслоением.

Видеозапись лекции

Плотная обмотка тора. Двулистное накрытие SU_2(C) ≅ U_1(H) → SO(H_im) ≅ SO_3(R).

Домашнее задание

Однородное многообразие группы Ли однозначно определяется стабилизатором базисной точки. Структура однородного многообразия на множестве левых смежных классов G/H группы Ли G по подгруппе Ли H. Представление изотропии на однородном многообразии, связь с присоединённым представлением. Нормальные подгруппы Ли и идеалы в касательной алгебре Ли. Структура группы Ли на факторгруппе G/H группы Ли G по нормальной подгруппе Ли H.

Видеозапись лекции

Двулистное накрытие U_2(H) → SO_5(R). Автоморфизмы алгебры Гейзенберга. Нормализатор подпространства в линейном представлении группы Ли и нормализатор связной подгруппы Ли, их касательные алгебры Ли. Многообразие Грассмана.

Домашнее задание

Касательная алгебра Ли факторгруппы Ли. Основная теорема о гомоморфизмах для групп Ли.

Фундаментальная группа, односвязные многообразия, универсальное накрытие (напоминания). Универсальная накрываюшая и фундаментальная группа связной группы Ли. Описание связных групп Ли как факторгрупп односвязных групп Ли по дискретным центральным подгруппам.

Видеозапись лекции

Классификация связных коммутативных групп Ли. Экспонента суммы коммутирующих элементов алгебры Ли равна произведению экспонент слагаемых.

Годограф скорости движения точки по кривой на группе Ли. Существование и единственность кривой с заданным годографом скорости, проходящей через заданную точку в начальный момент времени.

Видеозапись лекции

Деформация кривой на группе Ли, дифференциальное уравнение деформации.

Интегрирование гомоморфизмов касательных алгебр Ли: существование и единственность гомоморфизма односвязной группы Ли с заданным дифференциалом. Единственность односвязной группы Ли с заданной касательной алгеброй Ли.

Видеозапись лекции

Вторая гомотопическая группа. Точная гомотопическая последовательность расслоения группы Ли над однородным многообразием. Вычисление фундаментальной группы у GL_n(C).

Домашнее задание

Центр и коммутант связной группы Ли и её касательной алгебры Ли, связь между ними. Пример: коммутант группы GL_n. Разрешимые группы Ли и алгебры Ли, эквивалентность разрешимости связной группы Ли и её касательной алгебры Ли. Пример: разрешимость группы верхнетреугольных матриц.

Видеозапись лекции

Теоремы Ли и Энгеля, их следствия: запись комплексных линейных представлений связных разрешимых групп Ли и разрешимых алгебр Ли треугольными матрицами, одномерность неприводимых представлений.

Видеозапись лекции

Вычисление фундаментальной группы у SO_n(R). Спинорная группа. Односвязная накрывающая группы Ли SL_2(R) не является линейной группой Ли.

Домашнее задание

Полупростые алгебры Ли и группы Ли. Инвариантные скалярные умножения на алгебрах Ли, примеры: стандартное скалярное умножение на линейной алгебре Ли, форма Киллинга. Критерий разрешимости и необходимое условие полупростоты линейной алгебры Ли в терминах стандартного скалярного умножения. Критерий Картана разрешимости и полупростоты алгебры Ли в терминах формы Киллинга.

Видеозапись лекции

Структура полупростых алгебр Ли: разложение в прямую сумму простых идеалов. Теорема Вейля о полной приводимости линейных представлений полупростых алгебр Ли. Все дифференцирования полупростых алгебр Ли являются внутренними. Всякая полупростая алгебра Ли является касательной алгеброй Ли некоторой полупростой группы Ли.

Видеозапись лекции

Spin_6(R) ≅ SU_4(C). Простота алгебры Ли sl_n. Вычисление формы Киллинга для алгебры Ли gl_n.

Домашнее задание

Теория представлений группы Ли SL_n и алгебры Ли sl_n, классификация неприводимых представлений.

Домашнее задание