Кафедра высшей алгебры

Порядок элемента и порядок подгруппы, им порождённой. Следствия теоремы Лагрвнжа: порядок элемента делит…, g^|G|=…, малая теорема Ферма. Классификация циклических групп. Подгруппы циклических групп (ровно одна каждого разрешённого порядка).

Напомнил определение группы. Примеры групп. Подгруппы. Когда подмножество группы является подгруппой? (В одну сторону оставил в качестве упражнения пока.) Циклические подгруппы. Теорема Лагранжа. Левые смежные классы. Индекс.

Доказательство основной теоремы алгебры. Лемма Даламбера. Лемма о возрастании модуля.

Какой-то праздник.

Лексикографический порядок и его свойства. Теорема о выражении симметрических через элементарные. Теорема Виета.

Поле рациональных дробей. Правильные дроби и их суммы. Разложение правильной дроби в сумму простейших (с единственностью). Кольцо многочленов от нескольких переменных: отсутствие делителей нуля. Симметрические многочлены, элементарные симметрические, формулировка основной теоремы.

Неприводимые многочлены над полем вещественных чисел. Комплексные корни вещественных многочленов (сопряжённый к корню является корнем). Признак Эйзенштейна неприводимости над полем рациональных чисел. Лемма Гаусса о разложении целочисленного многочлена. Бесконечность множества неприводимых над любым полем. Почему над полем вычетов имеются неприводимые любой степени, оставил в качестве (трудного) упражнения. Поле рациональных дробей (только определил пока и без операций).

Схема Горнера. Кратные корни. Производная. Правило Лейбница. Избавление от кратных корней: как найти число физически разных корней комплексного многочлена? Неприводимые вещественные многочлены (только сформулировал пока).

НОД: определение, единственность, линейное выражение, алгоритм Евклида, делимость на все общие делители. Если многочлен делит произведение и взаимно прост с одним сомножителем, то…. Неприводимые многочлены, разложение в произведение неприводимых (с единственностью). Неприводимость линейных многочленов. Теорема Безу. Основная теорема алгебры (без доказательства пока). Неприводимые многочлены над полем комплексных чисел.

Извлечение корней из комплексных чисел. Корни из единицы, описание первообразных корней из единицы. Кольцо многочленов над полем. Степень. Отсутсвие делителей нуля. Деление с остатком (с единственностью).

Число решений СЛУ над конечным полем. Другая тонкость: почему определитель с двумя одинаковыми строчками равен нулю даже над полем характеристики два (оставил в качестве упражнения). Поле комплексных чисел, сопряжение, модуль, аргумент, тригонометрическая форма, формула Муавра. Извлечение корней начали обсуждать (сформулировал, но не доказал пока).

Задача интерполяции. Определитель Вандермонда. Интерполяционная формула Лагранжа. (Стало быть, о многочленах начал говорить, но пока не было определения чёткого даже.) Поля (и кольца). Когда кольцо вычетов является полем. Почему над любым полем верно всё, что говорилось над полем вещественных чисел. Но две маленькие тонкости тут есть — об одной из них начал говорить (о числе решений СЛУ).

Разложение по строке-столбцу. Фальшивое разложение. Явная формула для обратной матрицы. Когда обратная к целочисленной матрице целочисленная? Теорема Крамера и формулы Крамера. Теорема о ранге матрицы (ранг равен максимальному размеру… про окаймляющие не говорил).

Алгоритм вычисления определителя. Критерий равенства определителя нулю. Определитель с углом нулей. Разложение по столбцу (или строке) сформулировал, но не доказал пока.

Ещё раз повторил, почему чётности складываются при умножении перестановок. Чётность цикла. Определение определителя (явная формула). Кососимметричность и полилинейность по столбцам; определитель единичной матрицы (почему эти свойства задают функцию оперделителя однозначно, оставил в качестве полезного упражнения). Определитель транспонированной матрицы. Поведение определителя при элементарных преобразованиях и определитель треугольной матрицы (но алгоритма вычисления определителя не было пока в явном торжественном виде).

Неизменность ранга при умножении на невырожденную матрицу. (Общую оценку снизу ранга произведения в качестве упражнения оставил). Перестановки: определение, примеры, количество, запись в виде таблиц, умножение, чётность и знак. Транспозиции, поведение чётности при умножении на транспозицию, чётность произведения. Циклы. Разложение в произведение независимых циклов.

СЛУ на матричном языке. Связь решений СЛУ и соответствующей ОСЛУ. Матрицы элементарных преобразований. Обратная матрица. Критерий обратимости. Единственность обратной. Алгоритм поиска обратной. Обратная к произведению (и транспонированная к произведению).

Матрица композиции линейных отображений. Умножение матриц. Примеры. Ассоциативность умножения матриц (двумя способами доказали). Билинейность умножения матриц. Единичная матрица. Ранг произведения (только оценка сверху пока).

Размерность пространства решений однородной СЛУ. Алгоритм поиска ФСР. Пример разобрал простой. Линйные отображения и изоморфизмы векторных пространств. Примеры. Кончномерные векторные пространства изоморфны тогда и только тогда, когда размерности совпадают. Всякое к.м. в.п. изоморфно арифметическому в.п. Матрица линейного отображения.

Ранг равен размерности линейной оболочки. Основная лемма о л.з. на языке рангов. Поведение ранга системы столбцов при элементарных преобразованиях строк и столбцов. Насколько можно упростить матрицу ЭП строк и столбцов? Теорема о ранге матрицы (без миноров пока). Теорема Кронекера–Капелли и критерий определённости СЛУ. Множество решений однородной СЛУ является подпространством. Критерий того, что подмножество векторного пространства является подпространством оставил в качестве упражнения. То, что любое подпространство в арифметическом векторном пространстве задаётся однородной СЛУ, тоже в качестве упражнения (со звёздочкой) оставил. Размерность пространства решений однородной СЛУ сформулировал (и начал доказывать — сформулировал, что есть базис этого пространства). Определение ФСР не было пока произнесено.

Всякая всячина о лз. Основная лемма о лз. Базисы множеств векторов. Равномощность всех базисов (в конечномерном случае). Ранг и размерность. Теорему о ранге матрицы (без миноров пока) сформулировал.

Пример решения конкретной СЛУ. Критерий совместности и определённости в терминах ступенчатого вида. Векторные пространства (вещественные): определение, примеры некоторые следствия из аксиом (а некоторые оставил в качестве упражнений). Определения группы и абелевой группы тоже сказал по ходу дела. Линейная зависимость. Примеры. Сформулировал равносильность лз тому, что один из векторов через остальные выражается (доказать не успел).

Содержание курса. Учебники (Винберг, Кострикин, Курош). Системы линейных уравнений (всё над полем вещественных чисел пока и вообше понятия поля пока не было). Что значит Решить СЛУ? Эквивалентность СЛУ. Матрица коэффициентов и расширенная матрица. Элементарные преобразования. Эквивалентность СЛУ, расширенные матрицы которых получаются друг из друга ЭП строк. Верно ли обратное утверждение? (Поняли, что вообще говоря нет, но… оставил в качестве упражнения это но.) Ступенчатый вид и улучшенный ступенчатый вид. Метод Гаусса.

На семинарах рекомендую по традиции (по просьбам геометров) начать с определителей порядка два и три (и один), хотя на лекциях определители нескоро появятся.