Линейная алгебра и геометрия, семинары, 114 группа, 2024
Консультация перед экзаменом 23 июня в 17:00 в дистанционном формате по зуму:
Войти Zoom Конференция https://us02web.zoom.us/j/84578626525?pwd=VDJEb1A1YXBaOVdabXlJcit1bi9CUT09
Идентификатор конференции: 845 7862 6525 Код доступа: 050477
Занятие №1 (8 февраля, чт)
Повторение (Векторные пространства. Линейная зависимость. Базис. Размерность. Определение векторного подпространства.)
Матрицы перехода. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису.
Домашнее задание: 34.6, 34.3(б,д,е), 34.4 (б), 34.5, 34.10 (а), 34.11 (б), 34.12, 34.14(а)
Занятие №2 (12 февраля, пн)
Повторение (Определение векторного подпространства, ранг системы векторов, линейная оболочка).
Способы задания подпространств.
Домашнее задание: 35.1 (и, к, о,п), 35.2 (в), 35.3, 35.4 (а), 35.11 (б), 35.16 (б), 35.10
Занятие №3 (15 февраля, чт)
Сумма и пересечение подпространств
Домашнее задание: 35.12, 35.13, 35.14 (б,в), 35.15 (б)
Занятие №4 (19 февраля, пн)
1) Прямая сумма подпространств
2) Линейные функции. Координаты.
ДЗ:
1) №35.18, 35.19, 35.22, 35.24,
2) №1 из файла.
Занятие №5 (22 февраля, чт)
Сопряженное пространство. Сопряженный базис. Преобразование координат линейной функции.
ДЗ: №36.9 (б), 36.10, 36.11, 36.12, 36.13, 36.14, 36.18, задачи №2, №3 (б), №4 (а) из файла.
Занятие №6 (26 февраля)
Линейные отображения (линейные операторы). Ядро. Образ. Матрица линейного отображения. Действия над линейными операторами
ДЗ: № 39.1+39.5, 39.15 (д,з,л,м,н), 36.2, 36.5*, 36.6*
Занятие №7 (29 февраля)
Изменение матрицы линейного оператора при переходе к другому базису. Ранг линейного оператора.
ДЗ: №39.2, 39.3, 39.7, 39.19 – 39.23, 39.16, 39.12а*.
Занятие №8-9 (7 марта)
1) Собственные векторы и собственные значения. Диагонализируемость.
2) Инвариантные подпространства.
ДЗ:
1) 40.1 (б,в,д), 40.2, 40.3, 40.15 (а,в,д,е), 40.6, 40.16 (б),
2) 40.27, 40.22, 40.23, 40.24, 40.29, 40.30, 40.7
Занятие №10 (11 марта)
Разбор ДЗ
ДЗ: доделать задачи из прошлого ДЗ
Занятие №11 (14 марта)
1) ЖНФ.
2) Подобные матрицы.
3) Факторпространства.
ДЗ:
1) 41.1 (б,ж,е, г, и, л), 41.3 (б), 41.5
2) 41.8, 41.9
3) 34.14 (а)
Занятие №12 (18 марта, пн)
1) Корневые подпространства.
2) Жорданов базис.
ДЗ:
1) №40.35 а,б,в, 40.38
2) №41.10 а,б,г
Занятие №13 (21 марта, чт)
1) Жорданов базис (продолжение).
2) Аннулирующие и минимальные многочлены.
ДЗ:
0) доделать №41.10 а,б,г
1) 41.22
2) 41.27(б), 41.30, 41.32
Темы задач на КР №1
1) Определение векторного пространства и подпространства. Линейная зависимость векторов. Базис. Координаты вектора.
2) Базис и размерность суммы и пересечения подпространств. Прямая сумма. Проекция вектора на подпространство.
3) Определение линейной функции. Координатная запись.
4) Сопряженное пространство. Нахождение сопряженного базиса.
5) Определение линейного оператора. Ядро и образ. Матрица линейного оператора. Ее изменения при переходе к другому базису.
6) Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Диагонализируемость.
7) ЖНФ. Жорданов базис. Минимальный многочлен.
Занятие №14 (25 марта, пн)
0) Функции от матриц.
1) Билинейные функции. Преобразование матрицы билинейной функции при переходе к другому базису. Ранг и ядро билинейной функции. Невырожденные билинейные функции.
ДЗ: 0) № 42.19 (д), 1) № 37.1 д, е, м, п, р, 37.6 а, 37.8 б, 37.12 б, 37.28
Занятие №15 (29 марта, чт)
1) Определение симметрических и кососимметрических билинейных функций.
2) Нормальный вид квадратичной формы. Метод Лагранжа. Положительная и отрицательная определенность. Критерий Сильвестра.
ДЗ: 1) № 38.1, 38.4,
Задача: а) Доказать, что для симметрической и кососимметрической билинейной функции левое ядро совпадает с правым. б) Привести пример билинейной функции в n-мерном пространстве, которая не является ни симметрической, ни кососимметрической, но для которой левое ядро совпадает с правым.
2) № 38.15 а, б, 38.11 (б,в), 38.14 (а,б), 38.18 (б,в,г,з), 38.17 (б), 38.19 (б), 38.22 (а)
Занятие №16 (1 апреля, пн)
1) Метод Якоби
2) Евклидово пространство. Длина вектора. Косинус угла между векторами. Неравенство Коши-Буняковского. Ортонормированный базис
ДЗ: 1) 38.8 (а); 2) 43.28 (а), 43.39
Занятие №17 (4 апреля, чт)
1) Ортогонализация Грама-Шмидта
2) Ортогональное дополнение. Угол между вектором и подпространством. Расстояние между вектором и подпространством.
3) Сопряженный оператор
ДЗ:
0) 43.40
1) 43.7 (а), 43.15 (а),
2) 43.16 (б), 43.17, 43.18(б), 43.19 (б,в), 43.21 (б)
3) 44.3, 44.7
Занятие №18 (8 апреля, пн)
Коллоквиум
Занятие №19 (11 апреля, чт)
КР№1
Занятие №20 (15 апреля, пн)
1) Самосопряженный оператор
3) Приведение квадратичной формы к главным осям
ДЗ:
1) 45.1,45.9, 45.4 (а,г,д,е)
2) 45.19 (в,г,д)
Занятие №21 (18 апреля, чт)
1) Ортогональный оператор
2) Полярное разложение
ДЗ:
1) 46.3, 46.6 (а,в,ж)
2) 46.15, 46.16 (б,в)
Занятие №22 (22 апреля, пн)
1) Приведение пары квадратичных форм к сумме квадратов
2) Полуторалинейные функции. Эрмитовы функции. Эрмитовы квадратичные формы. Приведение к нормальному виду.
3) Унитарное пространство. Процесс ортогонализации.
ДЗ:
2) 37.7 (б), 37.9 (б), 37.41, 38.11 (д,е), 38.18 (е)
2) 38.15 (г), 43.21 (е)
Занятие №23 (25 апреля, чт)
1) Эрмитов и унитарный операторы.
2) Приведение эрмитовой квадратичной формы к главным осям
ДЗ:
1) 45.7(а,б), 46.7(б,г),46.10(а)
2) 45.21(б)
Занятие №24 (27 апреля, сб)
Аффинное пространство. Способы задания плоскости. Взаимное расположение плоскостей
ДЗ: 49.10 (б), 49.16 (а,в), 49.20 (б)
Занятие №25 (2 мая, чт)
Аффинно-евклидово пространство.
ДЗ: 51.6 (б), 51.7 (б,в), 51.14 (б,в)
Занятие №26 (6 мая, пн)
Аффинные отображения
ДЗ: 49.31(б), 49.33(б), 49.34(б), 49.19
9 мая - выходной
Занятие №27 (13 мая, пн)
Движения
ДЗ: 51.23 (б), 51.24 (б)
Занятие №28 (16 мая, чт)
1) Движения
2) Тензоры
ДЗ: 1) 51.23 (г), 51.24 (г)
2) 47.3, 47.4, 47.5, 47.6, 47.7 (б,в), 47.8 (б,в,г)
Темы задач на КР №2
1) Билинейные и квадратичные функции. Метод Лагранжа. Нормальный вид. Эквивалентность. Положительная и отрицательная определенность.
2) Евклидовы пространства. Ортогонализация Грама-Шмидта. Ортогональное дополнение. Ортогональная проекция и составляющая. Угол и расстояние от вектора до подпространства.
3) Самосопряженный оператор. Приведение к главным осям. Ортогональный оператор. Полярное разложение.
4) Аффинное и аффинно-евклидово пространство. Плоскости. Их взаимное расположение. Расстояние между плоскостями.
5) Аффинные преобразования. Инвариантные плоскости.
6) Движения.
7) Тензоры.